Parabolün tepe noktasını bulmak için öncelikle tepe noktasının x-koordinatını ($x_T$) hesaplamalıyız. Genel bir $ax^2 + bx + c$ parabolü için tepe noktasının x-koordinatı $x_T = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur.
- Verilen parabol denklemi $f(x) = -x^2 + 6x + k$'dir. Bu denklemde $a = -1$, $b = 6$ ve $c = k$'dir.
- Tepe noktasının x-koordinatını hesaplayalım:
$x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.
- Şimdi tepe noktasının y-koordinatını ($y_T$) bulalım. Bunun için $x_T$ değerini parabol denkleminde yerine yazarız:
$y_T = f(x_T) = f(3) = -(3)^2 + 6(3) + k = -9 + 18 + k = 9 + k$.
- Böylece parabolün tepe noktası $(3, 9+k)$ olarak bulunur.
- Soruda tepe noktasının $y = 2x - 1$ doğrusu üzerinde olduğu belirtilmiştir. Bu durumda tepe noktasının koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır. $(x_T, y_T)$ değerlerini doğru denkleminde yerine yazalım:
$9 + k = 2(3) - 1$
- Denklemi çözelim:
$9 + k = 6 - 1$
$9 + k = 5$
$k = 5 - 9$
$k = -4$.
Bu durumda $k$ değeri $-4$ olarak bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
