Parabol tepe noktası bulma formülü r = -b/2a Test 1

Bir topun yerden yüksekliğinin zamana bağlı denklemi h(t) = -5t² + 40t + 1 metre olarak veriliyor.
Top maksimum yüksekliğe kaçıncı saniyede ulaşır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir topun yerden yüksekliğinin zamana göre nasıl değiştiğini gösteren bir denklem verilmiş ve topun maksimum yüksekliğe ne zaman ulaşacağını bulmamız isteniyor. Hadi bu problemi adım adım çözelim!

• Denklemi Anlayalım:

  Bize verilen denklem $h(t) = -5t^2 + 40t + 1$. Bu denklem, topun $t$ saniye sonraki yüksekliğini ($h(t)$) metre cinsinden veriyor. Bu tür denklemlere ikinci dereceden denklemler veya kuadratik denklemler denir. Grafikleri bir parabol şeklindedir.

• Parabolün Yönü ve Maksimum Noktası:

  Bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c$ şeklinde olduğunda, eğer $a$ katsayısı negatifse (bizim denklemimizde $t^2$'nin katsayısı $a = -5$), parabol aşağı doğru açılır. Aşağı doğru açılan bir parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası, fonksiyonun alabileceği maksimum değeri temsil eder. Bizim durumumuzda, bu maksimum değer topun ulaşabileceği en yüksek noktayı, tepe noktasının $t$ koordinatı ise bu yüksekliğe ulaşıldığı zamanı gösterir.

• Tepe Noktasının Zaman Koordinatını Bulma Formülü:

  Bir $at^2 + bt + c$ şeklindeki ikinci dereceden denklemin tepe noktasının $t$ koordinatı (yani zamanı), aşağıdaki formülle bulunur:

  $t = \frac{-b}{2a}$

• Denklemimizdeki Katsayıları Belirleyelim:

  Denklemimiz $h(t) = -5t^2 + 40t + 1$. Bu denklemde:

  • $a = -5$ ( $t^2$'nin katsayısı)
  • $b = 40$ ( $t$'nin katsayısı)
  • $c = 1$ (sabit terim)
• Formülü Uygulayalım:

  Şimdi $a$ ve $b$ değerlerini tepe noktası formülüne yerleştirelim:

  $t = \frac{-40}{2 \times (-5)}$

  $t = \frac{-40}{-10}$

  $t = 4$

• Sonucu Yorumlayalım:

  Bu hesaplama sonucunda bulduğumuz $t = 4$ saniye, topun maksimum yüksekliğe ulaştığı zamandır.

Bu durumda, top maksimum yüksekliğe 4. saniyede ulaşır.

Cevap B seçeneğidir.