9. kx + 3y - 8 = 0 ve 4x + 6y + 7 = 0 doğruları paralel olduğuna göre, bu doğrular arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 23/(2√13)Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki doğrunun paralel olma koşulunu ve paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bir problem çözeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: Doğruların Paralellik Koşulunu Kullanarak $k$ Değerini Bulma
İki doğru, $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ ve $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ paralel ise, $x$ ve $y$ katsayıları oranları birbirine eşittir. Yani $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$ olmalıdır.
Verilen doğrular:
Paralellik koşulunu uygulayalım:
$\frac{k}{4} = \frac{3}{6}$
Sağ tarafı sadeleştirelim:
$\frac{k}{4} = \frac{1}{2}$
İçler dışlar çarpımı yaparak $k$ değerini bulalım:
$2k = 4$
$k = 2$
Adım 2: Doğru Denklemlerini Güncelleme
$k=2$ değerini ilk doğru denklemine yerine yazalım:
Adım 3: Doğruların Katsayılarını Eşitleme
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanabilmek için $x$ ve $y$ katsayılarının aynı olması gerekir. Formül, $Ax + By + C_1 = 0$ ve $Ax + By + C_2 = 0$ doğruları için $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ şeklindedir.
Şu anki denklemlerimiz:
İlk denklemi $2$ ile çarparak $x$ ve $y$ katsayılarını ikinci denklemle aynı yapalım:
$2 \cdot (2x + 3y - 8) = 2 \cdot 0$
$4x + 6y - 16 = 0$
Şimdi denklemlerimiz şu şekildedir:
Adım 4: Paralel Doğrular Arasındaki Uzaklık Formülünü Uygulama
Uzaklık formülünü kullanalım: $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
$d = \frac{|-16 - 7|}{\sqrt{4^2 + 6^2}}$
$d = \frac{|-23|}{\sqrt{16 + 36}}$
$d = \frac{23}{\sqrt{52}}$
Adım 5: Kök İçindeki İfadeyi Sadeleştirme
Paydadaki köklü ifadeyi sadeleştirelim:
$\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$
Adım 6: Uzaklık Değerini Sonuçlandırma
Sadeleştirilmiş köklü ifadeyi uzaklık denklemine yerine yazalım:
$d = \frac{23}{2\sqrt{13}}$
Bu durumda, doğrular arasındaki uzaklık $\frac{23}{2\sqrt{13}}$ birimdir.
Cevap A seçeneğidir.
