Üçgende yükseklik soruları Test 1

ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |AC| = 8 cm ve A açısı 60° dir. B köşesinden AC kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?

A) 4√3
B) 5√3
C) 6
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir üçgende yükseklik bulma problemini adım adım çözeceğiz. Geometri problemlerini çözerken şekli gözümüzde canlandırmak veya çizmek işimizi çok kolaylaştırır.

• Adım 1: Soruyu Anlama ve Verilenleri Belirleme

  Bize bir ABC üçgeni verilmiş. Bu üçgenin kenar uzunlukları $|AB| = 10$ cm ve $|AC| = 8$ cm olarak belirtilmiş. Ayrıca A açısının ölçüsü $60^\circ$ olarak verilmiş. Bizden istenen ise B köşesinden AC kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğudur.

• Adım 2: Yüksekliği Çizme ve Oluşan Dik Üçgeni Belirleme

  B köşesinden AC kenarına bir yükseklik çizdiğimizde, bu yüksekliğin AC kenarını kestiği noktaya D diyelim. Bu durumda BD doğru parçası, AC kenarına dik olacaktır. Yani $m(\widehat{BDA}) = 90^\circ$. Bu çizimle birlikte, ABD üçgeni bir dik üçgen haline gelir. Aradığımız yükseklik $|BD|$ uzunluğudur.

• Adım 3: Dik Üçgen ABD'deki Bilgileri Kullanma

  Şimdi ABD dik üçgenine odaklanalım:

  • Bu dik üçgenin hipotenüsü $|AB|$ kenarıdır ve uzunluğu $10$ cm'dir.
  • A açısı, yani $m(\widehat{BAD})$, $60^\circ$ olarak verilmiştir.
  • Aradığımız yükseklik $|BD|$, $60^\circ$'lik A açısının karşısındaki kenardır.
• Adım 4: Trigonometrik Oran Kullanarak Yüksekliği Bulma

  Bir dik üçgende, bir açının karşısındaki kenarı ve hipotenüsü biliyorsak veya arıyorsak sinüs oranını kullanırız. Sinüs oranı şu şekildedir:

  $\sin(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$

  Bizim durumumuzda, $60^\circ$ açısı için:

  $\sin(60^\circ) = \frac{|BD|}{|AB|}$

  Bilinen değerleri yerine yazalım:

  $\sin(60^\circ) = \frac{|BD|}{10}$

• Adım 5: Denklemi Çözme

  Trigonometrik bir değer olan $\sin(60^\circ)$'nin $\frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu biliyoruz. Bu değeri denklemde yerine yazalım:

  $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{|BD|}{10}$

  Şimdi $|BD|$'yi bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:

  $2 \cdot |BD| = 10 \cdot \sqrt{3}$

  Her iki tarafı $2$'ye bölelim:

  $|BD| = \frac{10 \sqrt{3}}{2}$

  $|BD| = 5 \sqrt{3}$ cm.

• Adım 6: Sonucu Kontrol Etme

  Bulduğumuz yükseklik uzunluğu $5\sqrt{3}$ cm'dir. Seçeneklere baktığımızda bu değer B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.