Üçgende yükseklik soruları Test 1

ABC üçgeninde [AH] ⊥ [BC], |AB| = 13 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 14 cm'dir. Buna göre |AH| kaç cm'dir?

A) 10
B) 11
C) 12
D) 13

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bir yüksekliğin uzunluğu isteniyor. Yükseklik, tabana dik indiği için iki tane dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenlerde Pisagor Teoremi'ni kullanarak yüksekliği bulabiliriz.

• 1. Değişkenleri Tanımlayalım:

  Öncelikle, bulmak istediğimiz yüksekliğe ve tabanın ayrılan parçalarına isim verelim:

  • $|AH|$ uzunluğuna $h$ diyelim. Bu bizim bulmak istediğimiz değerdir.
  • $|BH|$ uzunluğuna $x$ diyelim.
  • $|BC|$ uzunluğu $14$ cm olduğu için, $|HC|$ uzunluğu $14 - x$ olacaktır.
• 2. Pisagor Teoremini Uygulayalım:

  Şimdi, oluşan iki dik üçgende Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

  • $\triangle AHB$ üçgeninde: Bu bir dik üçgendir ($[AH] \perp [BC]$ olduğu için $\angle AHB = 90^\circ$). Hipotenüs $|AB|=13$ cm, dik kenarlar $|AH|=h$ ve $|BH|=x$.

    Pisagor Teoremi'ne göre: $h^2 + x^2 = |AB|^2$

    $h^2 + x^2 = 13^2$

    $h^2 + x^2 = 169$ (Bu bizim Birinci Denklemimiz)

  • $\triangle AHC$ üçgeninde: Bu da bir dik üçgendir ($\angle AHC = 90^\circ$). Hipotenüs $|AC|=15$ cm, dik kenarlar $|AH|=h$ ve $|HC|=14-x$.

    Pisagor Teoremi'ne göre: $h^2 + (14-x)^2 = |AC|^2$

    $h^2 + (14-x)^2 = 15^2$

    $h^2 + (14-x)^2 = 225$ (Bu bizim İkinci Denklemimiz)

• 3. Denklemleri Çözerek $x$ Değerini Bulalım:

  Birinci denklemden $h^2$ değerini yalnız bırakalım: $h^2 = 169 - x^2$.

  Bu $h^2$ ifadesini İkinci Denklem'de yerine yazalım:

  $(169 - x^2) + (14-x)^2 = 225$

  Şimdi $(14-x)^2$ ifadesini açalım: $(14-x)^2 = 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot x + x^2 = 196 - 28x + x^2$.

  Denklemde yerine yazarsak:

  $169 - x^2 + 196 - 28x + x^2 = 225$

  $-x^2$ ve $+x^2$ terimleri birbirini götürür:

  $169 + 196 - 28x = 225$

  Sayıları toplayalım:

  $365 - 28x = 225$

  $28x$'i sağa, $225$'i sola atalım:

  $365 - 225 = 28x$

  $140 = 28x$

  $x = \frac{140}{28}$

  $x = 5$ cm. Yani $|BH| = 5$ cm'dir.

• 4. $h$ Değerini Bulalım:

  Bulduğumuz $x=5$ değerini Birinci Denklem'de ($h^2 + x^2 = 169$) yerine yazarak $h$ değerini bulabiliriz:

  $h^2 + 5^2 = 169$

  $h^2 + 25 = 169$

  $h^2 = 169 - 25$

  $h^2 = 144$

  $h = \sqrt{144}$

  $h = 12$ cm.

  Böylece $|AH|$ uzunluğunu $12$ cm olarak bulmuş oluruz.

Cevap C seçeneğidir.