Bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesi \( (-\infty, -3) \cup (2, \infty) \) olarak veriliyor. Bu eşitsizlik aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \( x^2 + x - 6 > 0 \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesi verildiğinde, bu eşitsizliği nasıl bulacağımızı adım adım inceleyelim.
Adım 1: Çözüm Kümesini Anlamak ve Kökleri Belirlemek
Bize verilen çözüm kümesi $ (-\infty, -3) \cup (2, \infty) $ şeklindedir. Bu ifade, eşitsizliğin $x < -3$ veya $x > 2$ olduğunda sağlandığı anlamına gelir. İkinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesi genellikle kökler (yani, eşitsizliği sıfır yapan değerler) etrafında şekillenir.
Verilen çözüm kümesinden, eşitsizliği sıfır yapan kritik noktaların (köklerin) $x_1 = -3$ ve $x_2 = 2$ olduğunu anlıyoruz.
Adım 2: Köklerden İkinci Dereceden İfadeyi Oluşturmak
Eğer bir ikinci dereceden denklemin kökleri $r_1$ ve $r_2$ ise, bu denklem $a(x - r_1)(x - r_2) = 0$ şeklinde yazılabilir (burada $a$ sıfırdan farklı bir sabittir).
Bizim köklerimiz $x_1 = -3$ ve $x_2 = 2$ olduğuna göre, ikinci dereceden ifademiz $a(x - (-3))(x - 2)$ şeklinde olacaktır.
Bu ifadeyi düzenlersek:
$a(x + 3)(x - 2)$
$a(x^2 - 2x + 3x - 6)$
$a(x^2 + x - 6)$
Şimdi bu ifadeyi seçeneklerdeki eşitsizliklerle karşılaştıracağız.
Adım 3: Eşitsizliğin Yönünü ve 'a' Katsayısının İşaretini Belirlemek
Çözüm kümesi $ (-\infty, -3) \cup (2, \infty) $ şeklindeydi. Bu, parabolün kollarının yukarı doğru olduğu ($a > 0$) ve eşitsizliğin 'büyük' ($> 0$) olduğu durumda veya parabolün kollarının aşağı doğru olduğu ($a < 0$) ve eşitsizliğin 'küçük' ($< 0$) olduğu durumda elde edilen bir çözüm kümesidir. Yani, köklerin dışında kalan bölgeler çözüm kümesini oluşturuyor.
Eğer $a > 0$ ise, $a(x^2 + x - 6) > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi köklerin dışıdır. Yani $x < -3$ veya $x > 2$ olur.
Eğer $a < 0$ ise, $a(x^2 + x - 6) < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi köklerin dışıdır. Yani $x < -3$ veya $x > 2$ olur.
Adım 4: Seçenekleri İncelemek
A) $ x^2 + x - 6 > 0 $
Burada $a=1$ (yani $a > 0$). Kökler $x^2 + x - 6 = 0$ denklemini çözdüğümüzde $(x+3)(x-2)=0$ olduğundan $x=-3$ ve $x=2$'dir. $a > 0$ ve eşitsizlik $> 0$ olduğu için çözüm kümesi köklerin dışıdır: $ (-\infty, -3) \cup (2, \infty) $. Bu, verilen çözüm kümesiyle tamamen aynıdır.
B) $ x^2 + x - 6 < 0 $
Burada $a=1$ (yani $a > 0$). Kökler yine $x=-3$ ve $x=2$'dir. $a > 0$ ve eşitsizlik $< 0$ olduğu için çözüm kümesi köklerin arasıdır: $ (-3, 2) $. Bu, verilen çözüm kümesiyle uyuşmuyor.
C) $ x^2 - x - 6 > 0 $
Bu eşitsizliğin köklerini bulalım: $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0$. Kökler $x=3$ ve $x=-2$'dir. Bu kökler, bize verilen çözüm kümesinin kökleriyle ($ -3 $ ve $ 2 $) aynı değildir. Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz.
D) $ -x^2 + x + 6 > 0 $
Bu eşitsizliği daha kolay analiz etmek için her iki tarafı $-1$ ile çarpıp eşitsizlik yönünü değiştirelim: $x^2 - x - 6 < 0$. Bu eşitsizliğin kökleri $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0$ olduğundan $x=3$ ve $x=-2$'dir. Kökler $ -3 $ ve $ 2 $ değildir. Dolayısıyla bu seçenek de doğru olamaz.
Yukarıdaki analizler sonucunda, verilen çözüm kümesini sağlayan eşitsizliğin A) $ x^2 + x - 6 > 0 $ olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
