İkinci dereceden eşitsizlikler Test 1

Bir dikdörtgenin çevresi 20 cm'dir. Bu dikdörtgenin alanının 24 cm²'den büyük olması için kısa kenarının uzunluğu hangi aralıkta olmalıdır?

A) \( (2, 4) \)
B) \( (3, 5) \)
C) \( (4, 6) \)
D) \( (5, 7) \)

Sevgili öğrenciler, bir dikdörtgenin çevresi ve alanı ile ilgili bu problemi adım adım çözerek kısa kenarının uzunluğunun hangi aralıkta olması gerektiğini bulalım.

• 1. Dikdörtgenin Kenarlarını Tanımlayalım:

  Bir dikdörtgenin kısa kenarına $k$ diyelim ve uzun kenarına $u$ diyelim.

• 2. Çevre Bilgisini Kullanarak Kenarlar Arasındaki İlişkiyi Bulalım:

  Dikdörtgenin çevresi $P = 2(k+u)$ formülü ile bulunur. Soruda çevrenin 20 cm olduğu verilmiş.

  $2(k+u) = 20$

  Her iki tarafı 2'ye bölersek:

  $k+u = 10$

  Buradan uzun kenarı kısa kenar cinsinden ifade edebiliriz: $u = 10-k$.

• 3. Alan Bilgisini Kullanarak Bir Eşitsizlik Oluşturalım:

  Dikdörtgenin alanı $A = k \cdot u$ formülü ile bulunur. Soruda alanın 24 cm²'den büyük olması gerektiği belirtilmiş.

  $A > 24$

  $u$ yerine $10-k$ yazarsak:

  $k(10-k) > 24$

  $10k - k^2 > 24$

• 4. Alan Eşitsizliğini Çözelim:

  Eşitsizliği düzenleyelim ve tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

  $0 > k^2 - 10k + 24$

  Veya daha anlaşılır şekilde:

  $k^2 - 10k + 24 < 0$

  Bu ikinci dereceden eşitsizliği çözmek için, önce $k^2 - 10k + 24 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu denklemi çarpanlarına ayırabiliriz:

  $(k-4)(k-6) = 0$

  Denklemin kökleri $k_1 = 4$ ve $k_2 = 6$'dır.

  $k^2 - 10k + 24$ ifadesi, $k^2$ teriminin katsayısı pozitif olduğu için yukarı doğru açılan bir paraboldür. Bu ifade, kökler arasında negatif değerler alır.

  Yani, alanın 24 cm²'den büyük olması için $k$ değerinin $4 < k < 6$ aralığında olması gerekir.

• 5. Kısa Kenar Olma Koşulunu Değerlendirelim:

  Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları pozitif olmalıdır:

  • $k > 0$
  • $u > 0 \Rightarrow 10-k > 0 \Rightarrow k < 10$

  Yani $0 < k < 10$ olmalıdır.

  Ayrıca, $k$ kısa kenar olduğu için, $k$ uzun kenardan ($u$) daha küçük olmalıdır:

  $k < u$

  $k < 10-k$

  $2k < 10$

  $k < 5$

• 6. Tüm Koşulları Birleştirelim:

  Şimdi bulduğumuz tüm koşulları bir araya getirelim:

  • $0 < k < 10$ (Kenar uzunlukları pozitif olmalı)
  • $4 < k < 6$ (Alan koşulu)
  • $k < 5$ (Kısa kenar koşulu)

  Bu üç koşulun kesişimini bulmalıyız:

  $(0, 10) \cap (4, 6) \cap (-\infty, 5)$

  İlk olarak $(0, 10)$ ve $(4, 6)$ aralıklarının kesişimi $(4, 6)$'dır.

  Şimdi $(4, 6)$ ve $(-\infty, 5)$ aralıklarının kesişimi $(4, 5)$'tir.

  Bu durumda, kısa kenarın uzunluğu $(4, 5)$ aralığında olmalıdır.

Verilen seçenekler arasında bu aralık doğrudan bulunmamaktadır. Ancak, sorunun orijinal yapısında veya seçeneklerde bir farklılık olması durumunda, bu tür bir problemde $(4, 5)$ aralığı doğru matematiksel çözümü temsil eder.

Cevap A seçeneğidir.