Bu tür olasılık sorularında, olası tüm durumları ve istenen durumları dikkatlice belirlemek başarıya giden ilk adımdır. Şimdi sorumuzu adım adım inceleyelim:
Öncelikle torbadaki toplam top sayısını ve her renkten kaçar top olduğunu belirleyelim:
- Kırmızı top sayısı: 4
- Mavi top sayısı: 6
- Toplam top sayısı: $4 + 6 = 10$ top
Bizden istenen, geri atılmamak şartıyla art arda çekilen 2 topun aynı renk olması olasılığıdır. Bu durum iki farklı senaryo halinde gerçekleşebilir:
- Çekilen iki top da kırmızıdır.
- Çekilen iki top da mavidir.
Bu iki senaryonun olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayıp sonra toplayacağız, çünkü bu durumlar birbirini dışlar (aynı anda hem iki kırmızı hem de iki mavi top çekilemez).
1. Senaryo: Çekilen iki top da kırmızı olsun (Kırmızı - Kırmızı)
- İlk topun kırmızı olma olasılığı: Torbada 4 kırmızı top ve toplam 10 top var. Olasılık $P(K_1) = \frac{4}{10}$'dur.
- İlk top kırmızı çekildikten sonra (geri atılmadığı için) torbada 3 kırmızı top ve toplam 9 top kalır.
- İkinci topun da kırmızı olma olasılığı (ilk topun kırmızı olduğu bilindiğinde): Olasılık $P(K_2 | K_1) = \frac{3}{9}$'dur.
- İki topun da kırmızı olma olasılığı: Bu iki olasılığın çarpımıdır: $P(\text{İki Kırmızı}) = P(K_1) \times P(K_2 | K_1) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90}$'dır.
- Bu kesri sadeleştirelim: $\frac{12}{90} = \frac{12 \div 6}{90 \div 6} = \frac{2}{15}$'tir.
2. Senaryo: Çekilen iki top da mavi olsun (Mavi - Mavi)
- İlk topun mavi olma olasılığı: Torbada 6 mavi top ve toplam 10 top var. Olasılık $P(M_1) = \frac{6}{10}$'dur.
- İlk top mavi çekildikten sonra (geri atılmadığı için) torbada 5 mavi top ve toplam 9 top kalır.
- İkinci topun da mavi olma olasılığı (ilk topun mavi olduğu bilindiğinde): Olasılık $P(M_2 | M_1) = \frac{5}{9}$'dur.
- İki topun da mavi olma olasılığı: Bu iki olasılığın çarpımıdır: $P(\text{İki Mavi}) = P(M_1) \times P(M_2 | M_1) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90}$'dır.
- Bu kesri sadeleştirelim: $\frac{30}{90} = \frac{30 \div 30}{90 \div 30} = \frac{1}{3}$'tür.
Sonuç: Aynı renk olma olasılığı
- İki topun da aynı renk olma olasılığı, bu iki senaryonun olasılıklarının toplamıdır:
- $P(\text{Aynı Renk}) = P(\text{İki Kırmızı}) + P(\text{İki Mavi})$
- $P(\text{Aynı Renk}) = \frac{2}{15} + \frac{1}{3}$
- Kesirleri toplamak için paydaları eşitleyelim. $\frac{1}{3}$ kesrini 5 ile genişletirsek $\frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}$ olur.
- $P(\text{Aynı Renk}) = \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \frac{2+5}{15} = \frac{7}{15}$'tir.
Bu durumda, art arda çekilen 2 topun aynı renk olma olasılığı $\frac{7}{15}$'tir.
Cevap A seçeneğidir.
