🎓 Sıralı olma özelliği ve sayı doğrusu ilişkisi Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, sayı doğrusu üzerinde sayıların nasıl sıralandığını, karşılaştırıldığını ve aralarındaki ilişkileri anlamana yardımcı olacak temel bilgileri kapsamaktadır. Testteki soruları çözerken bu konulara hakim olman önemlidir.
📌 Sayı Doğrusu Nedir?
Sayı doğrusu, tüm gerçek sayıları belirli bir düzen içinde gösteren bir doğru parçasıdır. Matematikteki birçok kavramın görselleştirilmesi için temel bir araçtır.
- Başlangıç Noktası (Orijin): Sayı doğrusunun tam ortasında yer alan ve $0$ (sıfır) ile gösterilen noktadır.
- Pozitif Yön: Sıfırın sağında kalan kısımdır. Bu yönde ilerledikçe sayılar büyür.
- Negatif Yön: Sıfırın solunda kalan kısımdır. Bu yönde ilerledikçe sayılar küçülür.
- Birbirine Eşit Aralıklar: Sayı doğrusu üzerindeki her tam sayı, kendinden önceki ve sonraki tam sayıya eşit uzaklıktadır.
💡 İpucu: Sayı doğrusu, sayıları bir cetvel gibi düşünmeni sağlar. Ne kadar sağa gidersen, sayı o kadar büyük olur; ne kadar sola gidersen, sayı o kadar küçük olur.
📌 Sayıların Sıralanması ve Karşılaştırılması
Sayıları sıralamak, onları büyüklüklerine göre bir düzene koymaktır. Bu işlem için eşitsizlik sembolleri kullanılır.
- Küçüktür ($<$): Bir sayının diğerinden daha küçük olduğunu gösterir. Örnek: $3 < 5$.
- Büyüktür ($>$): Bir sayının diğerinden daha büyük olduğunu gösterir. Örnek: $7 > 2$.
- Küçük Eşittir ($\le$): Bir sayının diğerinden küçük veya ona eşit olduğunu gösterir. Örnek: $x \le 4$ (x, 4'ten küçük veya 4'e eşit olabilir).
- Büyük Eşittir ($\ge$): Bir sayının diğerinden büyük veya ona eşit olduğunu gösterir. Örnek: $y \ge -1$ (y, -1'den büyük veya -1'e eşit olabilir).
- Eşittir ($=$): İki sayının aynı değere sahip olduğunu gösterir. Örnek: $10 = 10$.
⚠️ Dikkat: Negatif sayılarda sıralama pozitif sayılardan farklıdır. Sıfıra daha yakın olan negatif sayı, diğer negatif sayıdan daha büyüktür. Örneğin, $-2 > -5$ çünkü $-2$ sayı doğrusunda $-5$'in sağındadır.
📝 Örnek: Sayıları sıralayalım: $-3$, $0$, $2$, $-1$. Küçükten büyüğe sıralama: $-3 < -1 < 0 < 2$.
📌 Sayı Doğrusunda Uzaklık ve Mutlak Değer
İki nokta arasındaki uzaklık her zaman pozitif bir değerdir. Mutlak değer kavramı da bu uzaklığı ifade etmek için kullanılır.
- Mutlak Değer: Bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. $|a|$ şeklinde gösterilir. Mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz.
- $|5| = 5$ (5'in sıfıra uzaklığı 5 birimdir.)
- $|-5| = 5$ (-5'in sıfıra uzaklığı da 5 birimdir.)
- İki Nokta Arasındaki Uzaklık: Sayı doğrusu üzerinde $a$ ve $b$ gibi iki nokta arasındaki uzaklık $|a - b|$ veya $|b - a|$ formülüyle bulunur. Sonuç her zaman pozitiftir.
💡 İpucu: Günlük hayatta yürüdüğün mesafeyi düşün. Geriye de gitsen, ileriye de gitsen kat ettiğin mesafe hep pozitif bir değerdir. Mutlak değer de böyledir.
📝 Örnek: Sayı doğrusunda $3$ ile $-2$ arasındaki uzaklık: $|3 - (-2)| = |3 + 2| = |5| = 5$ birimdir.
📌 Aralık Kavramı ve Sayı Doğrusunda Gösterimi
Belli bir aralıktaki tüm gerçek sayıları ifade etmek için aralık gösterimleri kullanılır. Bu aralıklar sayı doğrusu üzerinde farklı şekillerde temsil edilir.
- Kapalı Aralık: Uç noktaların da aralığa dahil olduğu durumdur. Köşeli parantez $[a, b]$ ile gösterilir ve sayı doğrusunda uç noktalar dolu daire ile belirtilir. Örnek: $[2, 5]$ (2 ve 5 dahil, aradaki tüm sayılar).
- Açık Aralık: Uç noktaların aralığa dahil olmadığı durumdur. Normal parantez $(a, b)$ ile gösterilir ve sayı doğrusunda uç noktalar boş daire ile belirtilir. Örnek: $(-1, 3)$ (-1 ve 3 hariç, aradaki tüm sayılar).
- Yarı Açık / Yarı Kapalı Aralık: Bir ucun dahil, diğer ucun hariç olduğu durumlardır. Örnek: $[0, 4)$ (0 dahil, 4 hariç) veya $(-2, 1]$ (-2 hariç, 1 dahil).
⚠️ Dikkat: Eşitsizlik sembolleriyle aralıkları eşleştirmeyi unutma:
- $a < x < b \implies (a, b)$ (açık aralık)
- $a \le x \le b \implies [a, b]$ (kapalı aralık)
- $a \le x < b \implies [a, b)$ (yarı açık aralık)
- $a < x \le b \implies (a, b]$ (yarı açık aralık)
📝 Örnek: $x \ge -3$ eşitsizliği, sayı doğrusunda $-3$'ten başlayıp sağa doğru sonsuza giden bir ışın şeklinde gösterilir ve $[-3, \infty)$ şeklinde ifade edilir. Sonsuzluk sembolünün yanında her zaman açık parantez kullanılır.
