Bir dikdörtgenin alanı 40 m² ve çevresi 26 m'dir. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( x^2 - 13x + 40 = 0 \)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir dikdörtgenin alan ve çevre bilgilerini kullanarak kenar uzunluklarını veren denklemi bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Bir dikdörtgenin kenar uzunluklarına $x$ ve $y$ diyelim. Bu $x$ ve $y$ değerleri, bulmamız gereken denklemin kökleri olacaktır.
Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır. Soruda alanın $40 \text{ m}^2$ olduğu belirtilmiş.
Bu durumda ilk denklemimiz:
$x \cdot y = 40$
Dikdörtgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamının iki katıdır. Soruda çevrenin $26 \text{ m}$ olduğu belirtilmiş.
Bu durumda ikinci denklemimiz:
$2(x + y) = 26$
Bu denklemi sadeleştirelim:
$x + y = \frac{26}{2}$
$x + y = 13$
Şimdi elimizde iki önemli bilgi var:
Genel olarak, kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan ikinci dereceden bir denklem $t^2 - (x_1 + x_2)t + (x_1 \cdot x_2) = 0$ şeklinde yazılabilir. Burada $t$ yerine seçeneklerdeki gibi $x$ değişkenini kullanabiliriz.
Bizim durumumuzda, $x_1$ ve $x_2$ yerine dikdörtgenin kenar uzunlukları olan $x$ ve $y$ değerlerini düşüneceğiz.
Denklemimizi oluşturalım:
$x^2 - (x + y)x + (x \cdot y) = 0$
Bulduğumuz toplam ve çarpım değerlerini yerine yazalım:
$x^2 - (13)x + (40) = 0$
$x^2 - 13x + 40 = 0$
Elde ettiğimiz denklem $x^2 - 13x + 40 = 0$'dır. Şimdi seçeneklere bakalım:
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz denklem A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
