İkinci dereceden denklem çözümü Test 1

\( x^2 + (m-1)x + 4 = 0 \) denkleminin eşit iki gerçek kökü olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 2
B) 0
C) -2
D) -4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, ikinci dereceden bir denklemin eşit iki gerçek kökü olma durumunu kullanarak $m$ değerlerini bulacak ve ardından bu değerlerin toplamını hesaplayacağız. Hadi adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: İkinci Dereceden Denklemin Genel Yapısını ve Eşit Kökler Şartını Hatırlayalım

  Genel bir ikinci dereceden denklem $ ax^2 + bx + c = 0 $ şeklinde ifade edilir. Bu denklemin eşit iki gerçek kökü olabilmesi için diskriminantının (delta) sıfıra eşit olması gerekir. Diskriminant $ \Delta $ sembolü ile gösterilir ve formülü $ \Delta = b^2 - 4ac $ şeklindedir. Yani, eşit kökler için $ b^2 - 4ac = 0 $ olmalıdır.

• Adım 2: Verilen Denklemin Katsayılarını Belirleyelim

  Bize verilen denklem $ x^2 + (m-1)x + 4 = 0 $ şeklindedir. Bu denklemi genel denklem $ ax^2 + bx + c = 0 $ ile karşılaştıralım:

  • $ x^2 $ teriminin katsayısı $ a $ 'dır. Bizim denklemimizde $ x^2 $ 'nin katsayısı $ 1 $ olduğu için $ a = 1 $.
  • $ x $ teriminin katsayısı $ b $ 'dir. Bizim denklemimizde $ x $ 'in katsayısı $ (m-1) $ olduğu için $ b = m-1 $.
  • Sabit terim $ c $ 'dir. Bizim denklemimizde sabit terim $ 4 $ olduğu için $ c = 4 $.
• Adım 3: Diskriminantı (Delta) Hesaplayalım ve Sıfıra Eşitleyelim

  Şimdi $ a=1 $, $ b=m-1 $ ve $ c=4 $ değerlerini diskriminant formülü $ \Delta = b^2 - 4ac $ içinde yerine yazalım:

  $ \Delta = (m-1)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (4) $

  $ \Delta = (m-1)^2 - 16 $

  Eşit iki gerçek kök olduğu için diskriminant sıfıra eşit olmalıdır:

  $ (m-1)^2 - 16 = 0 $

• Adım 4: m'nin Alabileceği Değerleri Bulalım

  Şimdi bulduğumuz denklemi $ m $ için çözelim:

  $ (m-1)^2 - 16 = 0 $

  $ (m-1)^2 = 16 $

  Hangi sayının karesi $ 16 $ 'dır? $ 4 $ 'ün karesi $ 16 $ 'dır ve $ -4 $ 'ün karesi de $ 16 $ 'dır. Bu durumda iki farklı olasılık vardır:

  • 1. Olasılık: $ m-1 = 4 $

  $ m = 4 + 1 $

  $ m_1 = 5 $

  • 2. Olasılık: $ m-1 = -4 $

  $ m = -4 + 1 $

  $ m_2 = -3 $

  Buna göre, $ m $ 'nin alabileceği değerler $ 5 $ ve $ -3 $ 'tür.

• Adım 5: m'nin Alabileceği Değerler Toplamını Hesaplayalım

  Soruda bizden $ m $ 'nin alabileceği değerler toplamı isteniyor. Bulduğumuz değerleri toplayalım:

  Toplam = $ m_1 + m_2 = 5 + (-3) = 5 - 3 = 2 $

Böylece $ m $ 'nin alabileceği değerler toplamını $ 2 $ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.