Sayı Kümelerinde Evrensel Küme ve Tümleyen Kavramı Nedir? Test 2

\( E = \{x | x \text{ bir rakam}\} \) evrensel küme olmak üzere, \( A = \{0,2,4,6,8\} \) kümesinin tümleyeni aşağıdakilerden hangisidir?

A) \{1,3,5,7,9\}
B) \{0,1,2,3,4\}
C) \{2,4,6,8\}
D) \{1,3,5,7\}

Bu soruyu çözmek için, öncelikle evrensel kümenin ve verilen $A$ kümesinin elemanlarını doğru bir şekilde belirlemeli, ardından tümleyen küme tanımını uygulamalıyız.

• Adım 1: Evrensel Kümeyi ($E$) Belirleyelim.

  Soruda evrensel küme $E = \{x | x \text{ bir rakam}\}$ olarak verilmiştir. Rakamlar, sayıları yazmak için kullandığımız sembollerdir. Onluk sayma sisteminde rakamlar şunlardır:

  $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

  Bu, tüm olası elemanları içeren en büyük kümemizdir.

• Adım 2: $A$ Kümesinin Elemanlarını Belirleyelim.

  Soruda $A$ kümesi $A = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ olarak açıkça verilmiştir. Bu küme, evrensel kümedeki çift rakamlardan oluşmaktadır.

• Adım 3: Tümleyen Küme Tanımını Anlayalım.

  Bir $A$ kümesinin tümleyeni ($A'$ veya $A^c$), evrensel kümede ($E$) olup $A$ kümesinde olmayan tüm elemanların kümesidir. Yani, $A'$ kümesi, $E$ kümesinden $A$ kümesinin elemanları çıkarıldığında geriye kalan elemanlardan oluşur. Matematiksel olarak $A' = E \setminus A$ şeklinde ifade edilir.

• Adım 4: $A$ Kümesinin Tümleyenini Bulalım.

  Şimdi $E$ kümesindeki elemanlardan $A$ kümesindeki elemanları çıkaralım:

  $E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

  $A = \{0, 2, 4, 6, 8\}$

  $A'$ kümesi, $E$'de olup $A$'da olmayan elemanlardır. Bu elemanlar şunlardır:

  • $0 \in A$ (almayız)
  • $1 \notin A$ (alırız)
  • $2 \in A$ (almayız)
  • $3 \notin A$ (alırız)
  • $4 \in A$ (almayız)
  • $5 \notin A$ (alırız)
  • $6 \in A$ (almayız)
  • $7 \notin A$ (alırız)
  • $8 \in A$ (almayız)
  • $9 \notin A$ (alırız)

  Buna göre, $A$ kümesinin tümleyeni $A' = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ olur.

• Adım 5: Seçenekleri Kontrol Edelim.

  Bulduğumuz $A' = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ kümesini seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $\{1,3,5,7,9\}$
  • B) $\{0,1,2,3,4\}$
  • C) $\{2,4,6,8\}$
  • D) $\{1,3,5,7\}$

  Görüldüğü gibi, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.