Kenar uzunlukları 12 cm, 16 cm ve 20 cm olan bir dik üçgende, hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
A) 8,4
B) 9,6
C) 10,2
D) 11,4
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir dik üçgenin hipotenüsüne ait yüksekliğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Üçgenin Dik Üçgen Olup Olmadığını Kontrol Edelim
- Verilen kenar uzunlukları 12 cm, 16 cm ve 20 cm'dir. Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Pisagor Teoremi'ne göre, dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir ($a^2 + b^2 = c^2$).
- En uzun kenar olan 20 cm'nin hipotenüs olabileceğini varsayalım. Diğer iki kenarın karelerini toplayalım:
- $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
- Hipotenüs olarak varsaydığımız kenarın karesini alalım:
- $20^2 = 400$
- Gördüğümüz gibi, $12^2 + 16^2 = 20^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu durumda, kenar uzunlukları 12 cm, 16 cm ve 20 cm olan bu üçgen bir dik üçgendir ve hipotenüsü 20 cm'dir. Dik kenarlar ise 12 cm ve 16 cm'dir.
- Adım 2: Dik Üçgenin Alanını Hesaplayalım
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı ile bulunur.
- Alan $= \frac{\text{dik kenar 1} \times \text{dik kenar 2}}{2}$
- Alan $= \frac{12 \text{ cm} \times 16 \text{ cm}}{2}$
- Alan $= \frac{192}{2} = 96 \text{ cm}^2$
- Adım 3: Hipotenüse Ait Yüksekliği Bulalım
- Bir üçgenin alanı aynı zamanda herhangi bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısı ile de bulunabilir. Biz hipotenüse ait yüksekliği aradığımıza göre, bu formülü hipotenüs ve ona ait yükseklik için kullanalım.
- Alan $= \frac{\text{hipotenüs} \times \text{hipotenüse ait yükseklik}}{2}$
- Hipotenüsümüz 20 cm'dir ve hipotenüse ait yüksekliği $h$ ile gösterelim.
- $96 = \frac{20 \times h}{2}$
- Şimdi bu denklemi $h$ için çözelim:
- $96 = 10 \times h$
- Her iki tarafı 10'a bölelim:
- $h = \frac{96}{10}$
- $h = 9,6 \text{ cm}$
Buna göre, hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu 9,6 cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
