Doğal sayılar kümesinde tanımlanan "a, b'yi böler" bağıntısını inceleyelim. Bu bağıntıyı $a | b$ şeklinde gösterebiliriz. $a | b$ demek, $b = ak$ olacak şekilde bir $k$ doğal sayısı bulunması demektir. Genellikle doğal sayılar kümesi $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ olarak kabul edilir. Bu kabulle, her bir seçeneği adım adım değerlendirelim:
- A) Yansıyandır:
- Bir bağıntının yansıyandır olması için, kümedeki her $a$ elemanı için $a | a$ olması gerekir.
- Her doğal sayı kendisini böler mi? Evet, çünkü her $a \in \mathbb{N}$ için $a = a \cdot 1$ yazabiliriz. Burada $k=1$ bir doğal sayıdır.
- Örneğin, $5 | 5$ çünkü $5 = 5 \cdot 1$.
- Bu nedenle, "böler" bağıntısı yansıyandır. Bu ifade doğrudur.
- B) Simetriktir:
- Bir bağıntının simetriktir olması için, kümedeki her $a, b$ elemanı için, eğer $a | b$ ise $b | a$ da olması gerekir.
- Şimdi bir örnekle kontrol edelim: $2 | 4$ mıdır? Evet, çünkü $4 = 2 \cdot 2$.
- Peki, $4 | 2$ midir? Hayır, çünkü $2 = 4 \cdot k$ olacak şekilde bir $k$ doğal sayısı yoktur. ($k$ burada $1/2$ olurdu, ki bu bir doğal sayı değildir.)
- Bu nedenle, "böler" bağıntısı simetrik değildir. Bu ifade yanlıştır.
- C) Ters simetriktir:
- Bir bağıntının ters simetriktir olması için, kümedeki her $a, b$ elemanı için, eğer $a | b$ ve $b | a$ ise $a = b$ olması gerekir.
- Varsayalım ki $a | b$ ve $b | a$.
- $a | b$ demek, $b = ak$ olacak şekilde bir $k \in \mathbb{N}$ vardır.
- $b | a$ demek, $a = bl$ olacak şekilde bir $l \in \mathbb{N}$ vardır.
- Şimdi $a$ yerine $bl$ yazarsak: $b = (bl)k = b(lk)$.
- $b$ bir doğal sayı olduğu için $b \neq 0$dır. Her iki tarafı $b$ ile bölersek $1 = lk$ elde ederiz.
- $k$ ve $l$ doğal sayılar olduğundan, $lk=1$ eşitliğinin sağlanması için tek yol $k=1$ ve $l=1$ olmasıdır.
- Eğer $k=1$ ise, $b = a \cdot 1 = a$ olur.
- Bu nedenle, eğer $a | b$ ve $b | a$ ise $a=b$ olmak zorundadır. Bu ifade doğrudur.
- D) Geçişkendir:
- Bir bağıntının geçişkendir olması için, kümedeki her $a, b, c$ elemanı için, eğer $a | b$ ve $b | c$ ise $a | c$ de olması gerekir.
- Varsayalım ki $a | b$ ve $b | c$.
- $a | b$ demek, $b = ak$ olacak şekilde bir $k \in \mathbb{N}$ vardır.
- $b | c$ demek, $c = bl$ olacak şekilde bir $l \in \mathbb{N}$ vardır.
- Şimdi $c = bl$ ifadesinde $b$ yerine $ak$ yazarsak: $c = (ak)l = a(kl)$.
- $k$ ve $l$ doğal sayılar olduğundan, $kl$ de bir doğal sayıdır.
- Yani $c = a \cdot (kl)$ olduğu için $a | c$ olur.
- Örneğin, $2 | 4$ ($4 = 2 \cdot 2$) ve $4 | 12$ ($12 = 4 \cdot 3$). Bu durumda $2 | 12$ midir? Evet, $12 = 2 \cdot 6$.
- Bu nedenle, "böler" bağıntısı geçişkendir. Bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki analizler sonucunda, "böler" bağıntısı için yanlış olan ifade simetrik olmasıdır.
Cevap B seçeneğidir.
