\( \mathbb{R} \) gerçek sayılar kümesi, \( \mathbb{Q} \) rasyonel sayılar kümesi ve \( \mathbb{I} \) irrasyonel sayılar kümesi olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) \( \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} \)
B) \( \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset \)
C) \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \)
D) \( \mathbb{Z} \subset \mathbb{I} \)
Bu soruda, sayı kümeleri arasındaki ilişkileri anlamamız gerekiyor. Gerçek sayılar kümesi ($ \mathbb{R} $), rasyonel sayılar kümesi ($ \mathbb{Q} $) ve irrasyonel sayılar kümesi ($ \mathbb{I} $) arasındaki temel tanımları ve ilişkileri hatırlayarak her bir seçeneği adım adım inceleyelim.
- A) $ \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} $
Gerçek sayılar kümesi ($ \mathbb{R} $), tanım gereği rasyonel sayılar ($ \mathbb{Q} $) ve irrasyonel sayılar ($ \mathbb{I} $) olmak üzere iki ayrık kümenin birleşimidir. Yani, sayı doğrusundaki her sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. Bu ifade, gerçek sayıların temel tanımını yansıttığı için doğrudur.
- B) $ \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset $
Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümeleri birbirini dışlayan kümelerdir. Bir sayı aynı anda hem rasyonel (yani $p/q$ şeklinde yazılabilen) hem de irrasyonel (yani $p/q$ şeklinde yazılamayan) olamaz. Bu nedenle, bu iki kümenin kesişimi boş kümedir ($ \emptyset $). Bu ifade de doğrudur.
- C) $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} $
Doğal sayılar kümesi ($ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} $ veya bazı tanımlara göre $ \{0, 1, 2, 3, ...\} $), rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesidir. Çünkü her doğal sayı $n$, $n/1$ şeklinde yazılabildiği için bir rasyonel sayıdır. Örneğin, $7 \in \mathbb{N}$ ve $7 = 7/1 \in \mathbb{Q}$. Bu ifade doğrudur.
- D) $ \mathbb{Z} \subset \mathbb{I} $
Tam sayılar kümesi ($ \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} $), irrasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesi değildir. Tam tersine, her tam sayı $k$, $k/1$ şeklinde yazılabildiği için bir rasyonel sayıdır. Örneğin, $ -5 \in \mathbb{Z} $ ve $ -5 = -5/1 \in \mathbb{Q} $. İrrasyonel sayılar ise rasyonel olmayan sayılardır (örneğin $ \sqrt{2} $, $ \pi $). Dolayısıyla, tam sayılar irrasyonel değildir; aksine rasyoneldirler. Bu ifade yanlıştır.
Bu durumda, yanlış olan ifade D seçeneğidir.
Cevap D seçeneğidir.
