Sayı Kümeleri Sembol ve Gösterimleri Test 2

\( A = \{ x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z} \} \) ve \( B = \{ x \mid x = 3m, m \in \mathbb{Z} \} \) kümeleri veriliyor.
Buna göre \( A \cap B \) kümesi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?

A) \( \{ x \mid x = 5n, n \in \mathbb{Z} \} \)
B) \( \{ x \mid x = 6n, n \in \mathbb{Z} \} \)
C) \( \{ x \mid x = n, n \in \mathbb{Z} \} \)
D) \( \{ x \mid x = 1n, n \in \mathbb{Z} \} \)

Bu soruda, iki farklı küme verilmiş ve bu kümelerin kesişimini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Kümeleri Anlayalım
• İlk olarak, verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim.
• $ A = \{ x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z} \} $ kümesi, $2$'nin tam katı olan tüm tam sayıları ifade eder. Yani, $A$ kümesi çift sayılardan oluşur.
• Bu kümeyi listeleyerek göstermek istersek: $ A = \{ \dots, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots \} $
• $ B = \{ x \mid x = 3m, m \in \mathbb{Z} \} $ kümesi ise, $3$'ün tam katı olan tüm tam sayıları ifade eder.
• Bu kümeyi listeleyerek göstermek istersek: $ B = \{ \dots, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \dots \} $
• Adım 2: Kesişim Kümesinin Anlamı
• Bizden istenen $ A \cap B $ kümesi, hem $A$ kümesinde hem de $B$ kümesinde ortak olan elemanları içeren kümedir.
• Yani, $ A \cap B $ kümesindeki bir eleman, hem $2$'nin bir katı olmalı hem de $3$'ün bir katı olmalıdır.
• Adım 3: Ortak Katları Bulma
• Bir sayı hem $2$'nin hem de $3$'ün katı ise, bu sayı $2$ ve $3$'ün ortak katı demektir.
• $2$ ve $3$'ün en küçük ortak katı (EKOK - En Küçük Ortak Kat) $6$'dır.
• Dolayısıyla, hem $2$'ye hem de $3$'e bölünebilen (yani her ikisinin de katı olan) sayılar, aynı zamanda $6$'nın da katı olmak zorundadır.
• Örneğin, $6$ hem $2$'nin ($2 \times 3$) hem de $3$'ün ($3 \times 2$) katıdır.
• $12$ hem $2$'nin ($2 \times 6$) hem de $3$'ün ($3 \times 4$) katıdır.
• $0$ da hem $2$'nin hem de $3$'ün katıdır.
• Adım 4: Kesişim Kümesini İfade Etme
• Bulduğumuz bu bilgiye göre, $ A \cap B $ kümesindeki elemanlar $6$'nın tam katları olmalıdır.
• Matematiksel olarak, $6$'nın tam katı olan bir sayıyı $6n$ şeklinde ifade edebiliriz, burada $n$ bir tam sayıdır ($n \in \mathbb{Z}$).
• O halde, $ A \cap B = \{ x \mid x = 6n, n \in \mathbb{Z} \} $ şeklinde yazabiliriz.
• Adım 5: Seçenekleri Kontrol Etme
• Şimdi bulduğumuz ifadeyi seçeneklerle karşılaştıralım:
• A) $ \{ x \mid x = 5n, n \in \mathbb{Z} \} $ (Bu, $5$'in katlarıdır.)
• B) $ \{ x \mid x = 6n, n \in \mathbb{Z} \} $ (Bu, $6$'nın katlarıdır.)
• C) $ \{ x \mid x = n, n \in \mathbb{Z} \} $ (Bu, tüm tam sayılardır.)
• D) $ \{ x \mid x = 1n, n \in \mathbb{Z} \} $ (Bu da tüm tam sayılardır.)
• Bizim bulduğumuz ifade B seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.