10. Sınıf Kosinüs Teoremi ve İspatı Test 2

3. Bir üçgende iki kenar uzunluğu 5 cm ve 7 cm, bu kenarlar arasındaki açı 60° ise, üçüncü kenar uzunluğu kaç cm'dir?

A) $\sqrt{39}$
B) $\sqrt{74}$
C) $\sqrt{109}$
D) $\sqrt{129}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı verildiğinde üçüncü kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Kosinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkiyi açıklar.

• Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Bir üçgenin kenarları $a$, $b$, $c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar sırasıyla $A$, $B$, $C$ olsun. Kosinüs Teoremi'ne göre, herhangi bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunur. Yani:

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

  Burada $c$ aradığımız üçüncü kenar, $a$ ve $b$ verilen diğer iki kenar, $C$ ise $a$ ve $b$ kenarları arasındaki açıdır.

• Verilen Bilgileri Yerine Yazalım:

  Soruya göre:

  • Bir kenar uzunluğu ($a$) $= 5$ cm
  • Diğer kenar uzunluğu ($b$) $= 7$ cm
  • Bu iki kenar arasındaki açı ($C$) $= 60^\circ$

  Şimdi bu değerleri Kosinüs Teoremi formülünde yerine yazalım:

  $c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)$

• Hesaplamaları Yapalım:
  • İlk olarak kareleri alalım: $5^2 = 25$ ve $7^2 = 49$.
  • Ardından çarpım kısmını hesaplayalım: $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.
  • $\cos(60^\circ)$ değerini hatırlayalım. $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

  Şimdi bu değerleri denklemde yerine koyalım:

  $c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2}$

• Denklemi Çözelim:
  • Toplama işlemini yapalım: $25 + 49 = 74$.
  • Çarpma işlemini yapalım: $70 \cdot \frac{1}{2} = 35$.

  Denklemimiz şu hale gelir:

  $c^2 = 74 - 35$

  $c^2 = 39$

• Üçüncü Kenar Uzunluğunu Bulalım:

  $c^2 = 39$ olduğuna göre, $c$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:

  $c = \sqrt{39}$ cm

Böylece üçüncü kenar uzunluğunun $\sqrt{39}$ cm olduğunu bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.