10. Sınıf Benzerlik Oranı ile Alan Arasındaki İlişki Test 2

Benzer iki üçgenin çevreleri oranı 2:5'tir. Küçük üçgenin alanı 16 cm² olduğuna göre, büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 40
B) 64
C) 100
D) 144

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, benzer iki üçgenin çevreleri arasındaki ilişkiyi ve bu ilişkinin alanlarına nasıl yansıdığını anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Verilenleri Anlayalım ve Benzerlik Oranını Belirleyelim.

  Soruda bize benzer iki üçgenin çevreleri oranının $2:5$ olduğu verilmiş. Bu, küçük üçgenin çevresinin büyük üçgenin çevresine oranının $rac{2}{5}$ olduğu anlamına gelir.

  Benzer üçgenlerde, çevreler oranı aynı zamanda benzerlik oranına eşittir. Benzerlik oranını $k$ ile gösterirsek:

  $k = rac{Çevre_{küçük}}{Çevre_{büyük}} = rac{2}{5}$

• 2. Adım: Benzer Üçgenlerde Alanlar Oranı Kuralını Hatırlayalım.

  Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Yani:

  $rac{Alan_{küçük}}{Alan_{büyük}} = k^2$

• 3. Adım: Alanlar Oranını Hesaplayalım.

  Benzerlik oranımız $k = rac{2}{5}$ olduğuna göre, alanlar oranı $k^2$ olacaktır:

  $rac{Alan_{küçük}}{Alan_{büyük}} = (rac{2}{5})^2$

  $rac{Alan_{küçük}}{Alan_{büyük}} = rac{2^2}{5^2} = rac{4}{25}$

• 4. Adım: Büyük Üçgenin Alanını Bulalım.

  Küçük üçgenin alanı $16 \text{ cm}^2$ olarak verilmişti. Bu değeri bulduğumuz oran denklemine yerleştirelim:

  $rac{16}{Alan_{büyük}} = rac{4}{25}$

  Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $Alan_{büyük}$ değerini bulabiliriz:

  $4 \times Alan_{büyük} = 16 \times 25$

  $4 \times Alan_{büyük} = 400$

  Her iki tarafı $4$'e bölelim:

  $Alan_{büyük} = rac{400}{4}$

  $Alan_{büyük} = 100 \text{ cm}^2$

Böylece büyük üçgenin alanının $100 \text{ cm}^2$ olduğunu bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.