Benzer iki beşgenin alanları oranı 9:25'tir. Küçük beşgenin bir kenarı 6 cm olduğuna göre, büyük beşgenin bir kenarı kaç cm'dir?
A) 8Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, benzer iki beşgenin alanları arasındaki ilişkiyi ve kenar uzunluklarını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Benzer şekillerde alanlar oranı ile kenarlar oranı arasında önemli bir bağlantı vardır. Haydi, adım adım bu soruyu çözelim!
Benzer iki şeklin alanları oranı, bu şekillerin karşılıklı kenar uzunlukları oranının karesine eşittir. Yani, eğer iki benzer şeklin kenar uzunlukları oranı $k$ ise, alanları oranı $k^2$ olur. Matematiksel olarak ifade edersek:
$\frac{\text{Alan}_1}{\text{Alan}_2} = \left(\frac{\text{Kenar}_1}{\text{Kenar}_2}\right)^2$
Soruda bize küçük beşgenin alanının büyük beşgenin alanına oranının $9:25$ olduğu verilmiş. Ayrıca küçük beşgenin bir kenar uzunluğu $6$ cm olarak verilmiş. Büyük beşgenin kenar uzunluğunu bulmak istiyoruz. Bu bilgileri formülümüze yerleştirelim:
$\frac{\text{Alan}_{\text{küçük}}}{\text{Alan}_{\text{büyük}}} = \frac{9}{25}$
$\text{Kenar}_{\text{küçük}} = 6 \text{ cm}$
$\text{Kenar}_{\text{büyük}} = ?$
Formülü kullanarak:
$\frac{9}{25} = \left(\frac{6}{\text{Kenar}_{\text{büyük}}}\right)^2$
Şimdi denklemi çözerek büyük beşgenin kenar uzunluğunu bulalım. Eşitliğin her iki tarafının karekökünü alarak işe başlayalım:
$\sqrt{\frac{9}{25}} = \sqrt{\left(\frac{6}{\text{Kenar}_{\text{büyük}}}\right)^2}$
Karekökleri hesaplayalım:
$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{6}{\text{Kenar}_{\text{büyük}}}$
$\frac{3}{5} = \frac{6}{\text{Kenar}_{\text{büyük}}}$
Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak veya orantı mantığını kullanarak $\text{Kenar}_{\text{büyük}}$ değerini bulabiliriz:
$3 \times \text{Kenar}_{\text{büyük}} = 5 \times 6$
$3 \times \text{Kenar}_{\text{büyük}} = 30$
Her iki tarafı $3$'e bölelim:
$\text{Kenar}_{\text{büyük}} = \frac{30}{3}$
$\text{Kenar}_{\text{büyük}} = 10 \text{ cm}$
Buna göre, büyük beşgenin bir kenarı $10$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
