Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi için birim elemanı bulmamız isteniyor. Birim eleman kavramını adım adım inceleyelim:
- Birim Eleman Nedir?
Bir küme üzerinde tanımlı bir işlem için birim eleman, o kümedeki herhangi bir elemanla işleme girdiğinde, o elemanın kendisini değiştirmeyen özel bir elemandır. Yani, $a$ bir kümenin elemanı ve $*$ bir işlem ise, birim eleman $e$ için $a * e = a$ ve $e * a = a$ eşitlikleri sağlanmalıdır.
- Çarpma İşlemi İçin Birim Eleman Tanımı:
Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi için birim eleman $e$ ise, bu durumda herhangi bir gerçek sayı $a$ için aşağıdaki eşitlikler sağlanmalıdır:
- $a \times e = a$
- $e \times a = a$
- Seçenekleri İnceleyelim:
Şimdi verilen seçenekleri bu tanıma göre kontrol edelim:
- A) 0: Eğer birim eleman $0$ olsaydı, herhangi bir $a$ gerçek sayısı için $a \times 0 = a$ eşitliği sağlanmalıydı. Ancak, $a \times 0 = 0$'dır. Bu durumda $0 = a$ olması gerekir ki bu her $a$ gerçek sayısı için geçerli değildir (örneğin, $5 \times 0 = 0 \neq 5$). Dolayısıyla, $0$ çarpma işleminin birim elemanı değildir. (0, toplama işleminin birim elemanıdır.)
- B) -1: Eğer birim eleman $-1$ olsaydı, herhangi bir $a$ gerçek sayısı için $a \times (-1) = a$ eşitliği sağlanmalıydı. Ancak, $a \times (-1) = -a$'dır. Bu durumda $-a = a$ olması gerekir ki bu sadece $a=0$ için geçerlidir. Her $a$ gerçek sayısı için geçerli değildir (örneğin, $5 \times (-1) = -5 \neq 5$). Dolayısıyla, $-1$ çarpma işleminin birim elemanı değildir.
- C) 1: Eğer birim eleman $1$ olsaydı, herhangi bir $a$ gerçek sayısı için $a \times 1 = a$ ve $1 \times a = a$ eşitlikleri sağlanmalıydı. Gerçekten de, herhangi bir gerçek sayıyı $1$ ile çarptığımızda sonuç yine o sayının kendisi olur. (Örneğin, $7 \times 1 = 7$, $-3 \times 1 = -3$, $0.5 \times 1 = 0.5$). Bu durum tüm gerçek sayılar için geçerlidir. Dolayısıyla, $1$ çarpma işleminin birim elemanıdır.
- D) 2: Eğer birim eleman $2$ olsaydı, herhangi bir $a$ gerçek sayısı için $a \times 2 = a$ eşitliği sağlanmalıydı. Ancak, $a \times 2 = 2a$'dır. Bu durumda $2a = a$ olması gerekir ki bu sadece $a=0$ için geçerlidir. Her $a$ gerçek sayısı için geçerli değildir (örneğin, $5 \times 2 = 10 \neq 5$). Dolayısıyla, $2$ çarpma işleminin birim elemanı değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi için birim elemanın $1$ olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
