Soru:
Bir \( A \) kümesinin tüm alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi \( P(A) \) üzerinde, işlem olarak kesişim (\( \cap \)) alınsın. Bu yapının birim elemanı nedir? Açıklayınız.
Çözüm:
💡 Kesişim işlemi için birim eleman \( E \) olsun. Kuvvet kümesindeki her \( X \) elemanı (yani her \( X \subseteq A \)) için \( X \cap E = E \cap X = X \) eşitliği sağlanmalıdır.
- ➡️ Bu eşitliğin sağlanması için, \( E \) kümesinin, \( P(A) \)'daki her alt kümeyi kesişim işleminde "etkilememesi" gerekir.
- ➡️ Bir \( X \) kümesi ile kesişimi yine \( X \) kümesini verecek olan \( E \) kümesi, \( X \)'in tüm elemanlarını içermelidir. Yani \( X \subseteq E \) olmalıdır.
- ➡️ Ancak bu, \( P(A) \)'daki her \( X \) alt kümesi için doğru olmalıdır. Bu da \( E \)'nin, \( A \) kümesinin kendisinden daha büyük olamayacağı anlamına gelir. O halde en büyük alt küme olan \( E = A \) seçilmelidir.
- ➡️ Kontrol edelim: Her \( X \subseteq A \) için \( X \cap A = A \cap X = X \). ✅
✅ Sonuç olarak, kuvvet kümesinde kesişim işleminin birim elemanı, \( A \) kümesinin kendisidir.
