Soru:
Gerçel sayılar kümesi üzerinde \( a \diamond b = 3ab \) işlemi veriliyor. Bu işlemin birim elemanını bulunuz.
Çözüm:
💡 Birim eleman \( e \), her \( a \) için \( a \diamond e = a \) şartını sağlamalıdır.
- ➡️ Denklemi kuralım: \( a \diamond e = 3 \cdot a \cdot e = a \).
- ➡️ Denklemi düzenleyelim: \( 3ae = a \).
- ➡️ \( a \)'yı sadeleştirebilmek için her iki tarafı \( a \)'ya bölelim (a=0 durumu özel bir durum olsa da birim eleman tüm elemanlar için çalışmalıdır): \( 3e = 1 \).
- ➡️ Buradan \( e = \frac{1}{3} \) bulunur.
- ➡️ Sağlama yapalım: \( a \diamond \frac{1}{3} = 3 \cdot a \cdot \frac{1}{3} = a \).
✅ Sonuç olarak, birim eleman \( e = \frac{1}{3} \)'tür.
