Soru:
Tamsayılar kümesi \( \mathbb{Z} \) üzerinde \( m * n = m + n + mn \) işlemi tanımlanmıştır. Bu işlemin birim elemanını bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir e birim elemanı, her n tamsayısı için \( e * n = n \) olmalıdır.
- ➡️ Birim eleman tanımını yazıp işlemi yerine koyalım: \( e * n = e + n + e \cdot n = n \).
- ➡️ Denklemi düzenleyelim: \( e + n + e n = n \) -> \( e + e n = 0 \) -> \( e(1 + n) = 0 \).
- ➡️ Bu denklem her n tamsayısı için sağlanmalı. Eğer \( e = 0 \) ise, denklem \( 0 \cdot (1 + n) = 0 \) olur ve bu her n için doğrudur.
- ➡️ Sağlama yapalım: \( e = 0 \) olsun. \( 0 * n = 0 + n + 0 \cdot n = n \). Aynı şekilde, \( n * 0 = n + 0 + n \cdot 0 = n \). Her iki koşul da sağlanır.
✅ Sonuç: Bu işlemin birim elemanı 0'dır.
