Soru:
Pozitif gerçek sayılar kümesi \( \mathbb{R}^+ \) üzerinde \( a \diamond b = a \times b \) (çarpma) işlemi veriliyor. Bu işlemin birim elemanı nedir? Ayrıca, \( a \square b = \sqrt{ab} \) işleminin birim elemanını bulunuz.
Çözüm:
💡 İki farklı işlem için birim eleman arayacağız. Birim eleman (e), her a elemanı için \( e \star a = a \) ve \( a \star e = a \) koşulunu sağlar.
- ➡️ Çarpma İşlemi (\( \diamond \)): \( e \times a = a \) olmalı. Bu denklem \( e = 1 \) için sağlanır, çünkü \( 1 \times a = a \). Ayrıca \( a \times 1 = a \) olduğu da açıktır.
- ➡️ Karekök İşlemi (\( \square \)): \( e \square a = a \) olmalı. İşlemin tanımını yazalım: \( \sqrt{e \cdot a} = a \).
- ➡️ Denklemi çözelim: Her iki tarafın karesini alırsak (a pozitif olduğu için sorun yok): \( e \cdot a = a^2 \).
- ➡️ Her iki tarafı a'ya bölelim (a > 0): \( e = a \). Bu, e'nin a'ya bağlı olduğu anlamına gelir, yani sabit bir e yoktur. Fakat birim eleman her eleman için aynı olmalıdır. Bu bir çelişkidir.
- ➡️ Kontrol edelim: Örneğin a=4 için e=4 olmalı. Ama a=9 için e=9 olmalı. Bu mümkün değil. Demek ki bu işlemin birim elemanı yoktur.
✅ Sonuç: Çarpma işleminin birim elemanı 1'dir. \( a \square b = \sqrt{ab} \) işleminin ise birim elemanı yoktur.
