Birim eleman nedir? Test 2

Bir G grubunda her elemanın bir tersi vardır. Bu grupta birim eleman ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Birden fazla birim eleman olabilir
B) Birim eleman yoktur
C) Birim elemanın tersi kendisidir
D) Birim elemanın tersi yoktur

Bu soruyu çözmek için grup teorisinin temel özelliklerini hatırlayalım. Bir $G$ grubunun dört ana özelliği vardır:

• Kapalılık: Her $a, b \in G$ için $a \cdot b \in G$ olmalıdır.
• Birleşme Özelliği: Her $a, b, c \in G$ için $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ olmalıdır.
• Birim Eleman (Etkisiz Eleman): Her $a \in G$ için $a \cdot e = e \cdot a = a$ özelliğini sağlayan bir tek $e \in G$ elemanı vardır.
• Ters Eleman: Her $a \in G$ için $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$ özelliğini sağlayan bir tek $a^{-1} \in G$ elemanı vardır.

Şimdi seçenekleri bu bilgiler ışığında adım adım inceleyelim:

• A) Birden fazla birim eleman olabilir: Bu ifade yanlıştır. Grup tanımının üçüncü maddesinde de belirtildiği gibi, bir grupta yalnızca bir tane birim eleman bulunur. Birim elemanın tekliği grup aksiyomlarından ispatlanabilir.
• B) Birim eleman yoktur: Bu ifade de yanlıştır. Grup tanımının üçüncü maddesi, birim elemanın varlığını açıkça belirtir. Birim eleman olmayan bir cebirsel yapıya grup denmez.
• D) Birim elemanın tersi yoktur: Bu ifade de yanlıştır. Grup tanımının dördüncü maddesi, gruptaki her elemanın bir tersi olduğunu söyler. Birim eleman $e$ de grubun bir elemanı olduğuna göre, onun da mutlaka bir tersi ($e^{-1}$) olmalıdır.
• C) Birim elemanın tersi kendisidir: Bu ifade doğrudur. Gelin bunu birlikte ispatlayalım:

  Birim elemanı $e$ ile gösterelim. Ters eleman tanımına göre, $e$'nin tersi olan $e^{-1}$ elemanı için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

  $e \cdot e^{-1} = e$

  Aynı zamanda, birim eleman tanımına göre, herhangi bir eleman $x \in G$ için $x \cdot e = x$ eşitliği geçerlidir. Eğer bu eşitlikte $x$ yerine $e^{-1}$ elemanını alırsak:

  $e^{-1} \cdot e = e^{-1}$

  Şimdi elimizde iki önemli eşitlik var:

  • $e^{-1} \cdot e = e^{-1}$ (Birim eleman tanımından)
  • $e^{-1} \cdot e = e$ (Ters eleman tanımından, $e$'nin tersi $e^{-1}$ olduğu için)

  Bu iki eşitliği birleştirdiğimizde, $e^{-1} = e$ sonucuna ulaşırız. Yani birim elemanın tersi gerçekten de kendisidir.

Cevap C seçeneğidir.