4. Bir veri grubunda sayılar: 8, 12, 15, 18, 22 şeklindedir. Bu veri grubuna hem aritmetik ortalama hem de medyan değerini değiştirmeyecek şekilde hangi sayı eklenebilir?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir veri grubuna yeni bir sayı eklediğimizde hem aritmetik ortalamanın hem de medyanın değişmemesini istiyoruz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Veri Grubunun İlk Durumunu İnceleyelim: Veri grubundaki sayılar: 8, 12, 15, 18, 22. Bu grupta toplam 5 sayı bulunmaktadır.
- 2. İlk Aritmetik Ortalamayı Hesaplayalım: Aritmetik ortalama, sayıların toplamının sayı adedine bölünmesiyle bulunur. Sayıların toplamı: $8 + 12 + 15 + 18 + 22 = 75$. Sayı adedi: 5. İlk Aritmetik Ortalama: $75 \div 5 = 15$.
- 3. İlk Medyanı (Ortanca Değeri) Bulalım: Medyan, bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada kalan sayıdır. Eğer sayı adedi tek ise ortadaki sayı, çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasıdır. Veri grubu zaten sıralı: 8, 12, 15, 18, 22. 5 sayı olduğu için ortadaki sayı 3. sıradaki sayıdır. İlk Medyan: 15.
- 4. Veri Grubuna Eklenecek Sayıyı Belirleyelim (x): Yeni eklenecek sayıya $x$ diyelim. Yeni veri grubumuzda 6 sayı olacak: 8, 12, 15, 18, 22, $x$. Hem yeni aritmetik ortalamanın hem de yeni medyanın değişmemesi yani yine 15 olması gerekiyor.
- 5. Aritmetik Ortalamanın Değişmemesi İçin x Ne Olmalı? Yeni toplam: $75 + x$. Yeni sayı adedi: 6. Yeni aritmetik ortalama: $(75 + x) \div 6$. Bu değerin 15 olması gerekiyor: $(75 + x) \div 6 = 15$. Denklemi çözelim: $75 + x = 15 \times 6 \implies 75 + x = 90 \implies x = 90 - 75 \implies x = 15$. Demek ki, aritmetik ortalamayı değiştirmemek için eklenmesi gereken sayı 15 olmalıdır.
- 6. Medyanın Değişmemesi İçin x Ne Olmalı? Eğer $x = 15$ sayısını eklersek, yeni veri grubumuz şu şekilde sıralanır: 8, 12, 15, 15, 18, 22. Bu grupta 6 sayı var. Medyan, ortadaki iki sayının (3. ve 4. sayıların) aritmetik ortalaması olacaktır. 3. sayı: 15. 4. sayı: 15. Yeni Medyan: $(15 + 15) \div 2 = 30 \div 2 = 15$. Gördüğümüz gibi, 15 sayısını eklediğimizde medyan değeri de değişmedi ve yine 15 oldu.
Her iki koşulu da sağlayan sayı 15'tir.
Cevap B seçeneğidir.
