Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için, öncelikle 45-45-90 üçgeninin temel özelliklerini hatırlayalım ve ardından verilen çevre bilgisini kullanarak adım adım sonuca ulaşalım.
- Adım 1: 45-45-90 Üçgeninin Özelliklerini Hatırlayalım
- Bir 45-45-90 üçgeni, ikizkenar dik üçgendir. Bu, iki dik kenarının uzunluğunun birbirine eşit olduğu anlamına gelir.
- Eğer dik kenarların her birinin uzunluğuna $a$ dersek, Pisagor Teoremi'ne göre hipotenüsün uzunluğu $a\sqrt{2}$ olur.
- Yani, üçgenin kenar uzunlukları $a$, $a$ ve $a\sqrt{2}$ şeklindedir.
- Adım 2: Üçgenin Çevresini $a$ Cinsinden İfade Edelim
- Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
- Bu durumda, çevremiz $a + a + a\sqrt{2}$ olacaktır.
- Bu ifadeyi düzenlersek, çevre $= 2a + a\sqrt{2} = a(2 + \sqrt{2})$ olur.
- Adım 3: Verilen Çevre Bilgisini Kullanalım
- Soruda bize çevrenin $20 + 10\sqrt{2}$ cm olduğu verilmiş.
- Şimdi, bulduğumuz çevre ifadesini verilen çevreye eşitleyelim:
- $a(2 + \sqrt{2}) = 20 + 10\sqrt{2}$
- Adım 4: $a$ Değerini Bulalım
- Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyi dikkatlice inceleyelim: $20 + 10\sqrt{2}$. Bu ifadeyi $10$ parantezine alabiliriz.
- $20 + 10\sqrt{2} = 10(2 + \sqrt{2})$
- Şimdi eşitliğimiz şu hale geldi: $a(2 + \sqrt{2}) = 10(2 + \sqrt{2})$
- Eşitliğin her iki tarafında da $(2 + \sqrt{2})$ çarpanı olduğu için, bu ifadeyi sadeleştirebiliriz.
- Böylece $a = 10$ cm bulunur. Bu, üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğudur.
- Adım 5: Hipotenüs Uzunluğunu Hesaplayalım
- Bizden istenen üçgenin hipotenüs uzunluğudur.
- Adım 1'de hatırladığımız gibi, hipotenüsün uzunluğu $a\sqrt{2}$ idi.
- Bulduğumuz $a = 10$ değerini yerine koyarsak:
- Hipotenüs $= 10\sqrt{2}$ cm olur.
Bu sonuç, seçeneklerdeki C şıkkı ile eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
