Bir üçgenin iki kenarı 6 cm ve 8 cm'dir. Bu kenarlar arasındaki açı 120° olduğuna göre, üçüncü kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
A) 2√37Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir üçgenin iki kenarının uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü verilmiş. Bizden üçüncü kenarın uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için en uygun araç, Kosinüs Teoremi'dir. Haydi adım adım bu problemi çözelim!
Üçgenin kenar uzunlukları $a = 6$ cm ve $b = 8$ cm olarak verilmiş. Bu iki kenar arasındaki açı $C = 120^\circ$ olarak belirtilmiş. Bizden üçüncü kenarın uzunluğu olan $c$ değerini bulmamız isteniyor.
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Teorem şu şekildedir:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
Burada $a$ ve $b$ bilinen kenarlar, $C$ bu kenarlar arasındaki açı ve $c$ ise bulmak istediğimiz üçüncü kenardır.
Verilen değerleri Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:
$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$
Trigonometrik bir bilgi olarak, $\cos(120^\circ)$ değeri $-\frac{1}{2}$'ye eşittir. Bunu hatırlayalım veya birim çemberden bulalım:
$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$
Şimdi bulduğumuz $\cos(120^\circ)$ değerini formülde yerine koyarak işlemleri tamamlayalım:
$c^2 = 148$ olduğuna göre, $c$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:
$c = \sqrt{148}$
Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz. $148$ sayısını çarpanlarına ayıralım:
$148 = 4 \cdot 37$
O halde:
$c = \sqrt{4 \cdot 37} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{37} = 2\sqrt{37}$
Böylece üçüncü kenarın uzunluğunu $2\sqrt{37}$ cm olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
