Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, kenar uzunlukları verilen bir üçgenin en küçük açısının kosinüs değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Üçgenin Türünü Belirleyelim
- Verilen kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm'dir. Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor Teoremi'ni kontrol edebiliriz. Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende en uzun kenarın karesi (hipotenüs), diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir. Yani $a^2 + b^2 = c^2$ olmalıdır.
- Kenarları kontrol edelim:
- $7^2 = 49$
- $24^2 = 576$
- $25^2 = 625$
- Şimdi en kısa iki kenarın kareleri toplamını alalım: $49 + 576 = 625$.
- Gördüğümüz gibi, $7^2 + 24^2 = 25^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu durumda, kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm olan bu üçgen bir dik üçgendir. Dik açı, en uzun kenar olan 25 cm'nin karşısındadır.
- Adım 2: En Küçük Açıyı Bulalım
- Bir üçgende, en küçük açı her zaman en kısa kenarın karşısında bulunur.
- Verilen kenar uzunlukları 7 cm, 24 cm ve 25 cm olduğuna göre, en kısa kenar 7 cm'dir.
- Dolayısıyla, en küçük açı 7 cm'lik kenarın karşısındaki açıdır. Bu açıya $\alpha$ diyelim.
- Adım 3: En Küçük Açının Kosinüs Değerini Hesaplayalım
- Üçgenimiz bir dik üçgen olduğu için trigonometrik oranları kullanabiliriz. Bir dik üçgende bir açının kosinüsü, "komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı" olarak tanımlanır.
- $\cos(\text{açı}) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}$
- Bizim en küçük açımız ($\alpha$), 7 cm'lik kenarın karşısındadır.
- Bu açının komşu dik kenarı 24 cm'dir.
- Hipotenüs ise 25 cm'dir (dik açının karşısındaki en uzun kenar).
- O halde, en küçük açının kosinüs değeri:
- $\cos(\alpha) = \frac{24}{25}$
Bu değer, seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
