11. Sınıf Kosinüs teoremi konu anlatımı, çözümlü sorular Test 2

Bir üçgenin kenar uzunlukları sırasıyla 2x, 3x ve 4x'tir. Bu üçgenin en büyük açısının kosinüs değeri kaçtır?

A) -1/4
B) -1/3
C) -1/2
D) -2/3

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgenin kenar uzunlukları verildiğinde en büyük açısının kosinüs değerini bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için üçgenlerdeki temel ilişkileri ve Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Haydi adım adım çözelim!

• 1. Üçgenin Kenar Uzunluklarını Belirleyelim:

  Üçgenin kenar uzunlukları $2x$, $3x$ ve $4x$ olarak verilmiş. Bir üçgenin kenar uzunlukları pozitif olmalıdır, bu yüzden $x > 0$ olduğunu varsayıyoruz.

• 2. En Büyük Açıyı Bulalım:

  Bir üçgende, en büyük açı her zaman en uzun kenarın karşısında bulunur. Kenar uzunluklarımız $2x$, $3x$ ve $4x$ olduğuna göre, en uzun kenar $4x$'tir. Dolayısıyla, en büyük açı $4x$ kenarının karşısındaki açıdır.

• 3. Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Bir üçgenin kenarları $a, b, c$ ve $c$ kenarının karşısındaki açı $C$ ise, Kosinüs Teoremi şu şekildedir:

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

  Bu formülü $\cos C$ için düzenlersek:

  $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

• 4. Değerleri Kosinüs Teoremi'ne Yerleştirelim:

  En büyük açının karşısındaki kenar $c = 4x$ olsun. Diğer kenarlar $a = 2x$ ve $b = 3x$ olsun. Şimdi bu değerleri formülde yerine yazalım:

  $\cos C = \frac{(2x)^2 + (3x)^2 - (4x)^2}{2(2x)(3x)}$

• 5. İşlemleri Yapalım:

  Şimdi ifadeyi basitleştirelim:

  $\cos C = \frac{4x^2 + 9x^2 - 16x^2}{12x^2}$

  Pay kısmındaki terimleri toplayıp çıkaralım:

  $\cos C = \frac{(4+9-16)x^2}{12x^2}$

  $\cos C = \frac{(13-16)x^2}{12x^2}$

  $\cos C = \frac{-3x^2}{12x^2}$

• 6. Sonucu Bulalım:

  $x^2$ terimleri sadeleşecektir (çünkü $x \neq 0$):

  $\cos C = -\frac{3}{12}$

  Kesri sadeleştirelim:

  $\cos C = -\frac{1}{4}$

Böylece üçgenin en büyük açısının kosinüs değerini $ -1/4 $ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.