Kök Dışına Çıkarma İşlemi Adım Adım Anlatım Test 1

🎓 Kök Dışına Çıkarma İşlemi Adım Adım Anlatım Test 1 - Ders Notu

Bu ders notu, "Kök Dışına Çıkarma İşlemi Adım Adım Anlatım Test 1" testinde karşılaşacağınız kareköklü sayılar, tam kare sayılar ve sayıları kök dışına çıkarma gibi temel konuları sade bir dille özetlemektedir. Amacımız, bu işlemleri adım adım anlamanıza yardımcı olmaktır.

📌 Kareköklü Sayı Nedir?

Kareköklü sayı, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Sembolü $\sqrt{\phantom{a}}$ şeklindedir ve "karekök" olarak okunur.

• Bir sayının karekökünü bulmak, o sayıyı kendisiyle çarptığımızda elde ettiğimiz sayıyı bulmanın tersidir.
• Örneğin, $4$'ün karekökü $2$'dir çünkü $2 \times 2 = 4$. Bunu $\sqrt{4} = 2$ şeklinde yazarız.
• Karekök içindeki sayı negatif olamaz. Gerçek sayılar kümesinde negatif sayıların karekökü tanımlı değildir.

💡 İpucu: Karekök işlemi, "hangi sayıyı kendisiyle çarparsam bu sayıyı elde ederim?" sorusunun cevabıdır. Tıpkı bir binanın temelini bulmak gibi, sayının kökenini araştırırız.

📌 Tam Kare Sayılar

Tam kare sayılar, bir tam sayının kendisiyle çarpılması (karesi alınması) sonucu elde edilen sayılardır. Bu sayıların karekökleri her zaman birer tam sayıdır.

• Örneğin: $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $7^2 = 49$, $8^2 = 64$, $9^2 = 81$, $10^2 = 100$.
• Bu sayılar ($1, 4, 9, 16, 25, ...$) tam kare sayılardır ve kök dışına direkt olarak tam sayı olarak çıkarlar. Örneğin, $\sqrt{81} = 9$.

⚠️ Dikkat: Tam kare sayıları bilmek, kök dışına çıkarma işlemlerini hızlandırır ve çok kolaylaştırır. Bu sayıları aklınızda tutmaya çalışın.

📌 Karekök Dışına Sayı Çıkarma (Sadeleştirme)

Her sayı bir tam kare sayı değildir, ancak bazı sayıların içinde tam kare çarpanlar bulunabilir. Bu çarpanları kök dışına çıkararak kareköklü ifadeyi sadeleştirebiliriz. Bu işlem, bir sayıyı en basit köklü ifadesine dönüştürmektir.

• Adım 1: Kök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırın. Bu çarpanlardan tam kare olanları (örneğin $4, 9, 16, 25, ...$) veya asal çarpanlarını üslü biçimde yazın.
• Adım 2: Tam kare olan çarpanları kök dışına çıkarın. Bir sayı kök dışına çıkarken karesi alınmış halinin karekökü olarak çıkar. Yani $a^2$ kök dışına $a$ olarak çıkar.
• Adım 3: Kök içinde kalan çarpanları birbiriyle çarparak kök içindeki yeni sayıyı oluşturun.

📝 Örnek 1: $\sqrt{12}$ sayısını kök dışına çıkaralım.

• $12$'nin çarpanları: $1 \times 12$, $2 \times 6$, $3 \times 4$.
• Burada $4$ bir tam kare sayıdır. Yani $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3}$ şeklinde yazabiliriz.
• $4$ kök dışına $2$ olarak çıkar. Sonuç: $2\sqrt{3}$.

📝 Örnek 2: $\sqrt{72}$ sayısını kök dışına çıkaralım.

• $72$'yi çarpanlarına ayıralım: $72 = 36 \times 2$. (Burada $36$ en büyük tam kare çarpandır.)
• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}$.
• $36$ kök dışına $6$ olarak çıkar. Sonuç: $6\sqrt{2}$.

💡 İpucu: Sayıyı asal çarpanlarına ayırarak da kök dışına çıkarma yapabilirsiniz. Çift üslü olanlar kök dışına üssünün yarısı olarak çıkar. Örneğin, $\sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$. $\sqrt{2^3 \times 3^2} = \sqrt{2^2 \times 2 \times 3^2} = 2 \times 3 \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

⚠️ Dikkat: Kök dışına çıkarılamayan (yani içinde tam kare çarpan kalmayan) bir ifade en sade halidir. Tıpkı bir kesri sadeleştirmek gibi düşünün.

📌 Sayıyı Karekök İçine Alma

Bazen kök dışındaki bir sayıyı kök içine almamız gerekebilir. Kök dışındaki bir sayı, kök içine girerken karesi alınarak girer.

• Yani, $a\sqrt{b}$ ifadesinde, $a$ sayısını kök içine almak için $a^2$ olarak içeri alırız.
• Formül: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \times b}$.

📝 Örnek: $3\sqrt{5}$ sayısını kök içine alalım.

• $3$ kök içine $3^2 = 9$ olarak girer.
• Sonuç: $\sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45}$.

💡 İpucu: Bu işlem, farklı köklü sayıları karşılaştırmak için çok kullanışlıdır. Örneğin, $2\sqrt{7}$ ile $3\sqrt{3}$'ü karşılaştırmak için ikisini de kök içine alıp $\sqrt{2^2 \times 7} = \sqrt{28}$ ve $\sqrt{3^2 \times 3} = \sqrt{27}$ şeklinde bakabiliriz. Böylece $\sqrt{28} > \sqrt{27}$ yani $2\sqrt{7} > 3\sqrt{3}$ olduğunu kolayca anlarız.