Koordinat düzleminde verilen E(-2,3) ve F(4,-1) noktalarına eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x - 2y = 1
B) 3x - 2y = 3
C) 2x - 3y = 1
D) 2x - 3y = 3
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, koordinat düzleminde verilen iki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yer denklemini bulmayı öğreneceğiz. Bu tür noktaların oluşturduğu geometrik yer, aslında bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının dik orta dikmesidir. Yani, hem bu doğru parçasını ortadan ikiye bölen hem de ona dik olan bir doğru denklemi bulacağız.
Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Verilen Noktaları Belirleyelim
- Soruda bize $E(-2,3)$ ve $F(4,-1)$ noktaları verilmiş. Bu iki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların denklemini arıyoruz.
- 2. Adım: E ve F Noktalarının Orta Noktasını Bulalım
- Dik orta dikme, adından da anlaşılacağı gibi, doğru parçasının tam ortasından geçer. Bu yüzden öncelikle $E$ ve $F$ noktalarının orta noktasını (M) bulmalıyız. Orta nokta formülü $M = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$ şeklindedir.
- $M = \left( \frac{-2+4}{2}, \frac{3+(-1)}{2} \right)$
- $M = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right)$
- $M = (1,1)$
- Yani, aradığımız doğru $(1,1)$ noktasından geçiyor.
- 3. Adım: EF Doğru Parçasının Eğimini Bulalım
- Dik orta dikme, EF doğru parçasına dik olacağı için, önce EF doğru parçasının eğimini bulmalıyız. Eğim formülü $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ şeklindedir.
- $m_{EF} = \frac{-1-3}{4-(-2)}$
- $m_{EF} = \frac{-4}{4+2}$
- $m_{EF} = \frac{-4}{6}$
- $m_{EF} = -\frac{2}{3}$
- 4. Adım: Dik Orta Dikmenin Eğimini Bulalım
- İki doğru birbirine dik ise, eğimleri çarpımı $-1$'dir (eğer doğrulardan biri yatay, diğeri dikey değilse). EF doğru parçasının eğimi $m_{EF} = -\frac{2}{3}$ olduğuna göre, dik orta dikmenin eğimi ($m_{\perp}$) şu şekilde bulunur:
- $m_{\perp} \cdot m_{EF} = -1$
- $m_{\perp} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -1$
- $m_{\perp} = \frac{-1}{-\frac{2}{3}}$
- $m_{\perp} = \frac{3}{2}$
- Şimdi, dik orta dikmenin eğimini bulduk: $m_{\perp} = \frac{3}{2}$.
- 5. Adım: Dik Orta Dikmenin Denklemini Yazalım
- Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle bulunur. Bizim doğrumuz $M(1,1)$ noktasından geçiyor ve eğimi $m_{\perp} = \frac{3}{2}$.
- $y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)$
- 6. Adım: Denklemi Sadeleştirelim ve Standart Formda Yazalım
- Denklemdeki kesirden kurtulmak için her iki tarafı $2$ ile çarpalım:
- $2(y - 1) = 3(x - 1)$
- $2y - 2 = 3x - 3$
- Şimdi terimleri düzenleyerek denklemi $Ax + By = C$ şeklinde yazalım:
- $3x - 2y = -2 + 3$
- $3x - 2y = 1$
Bulduğumuz denklem $3x - 2y = 1$'dir. Seçeneklere baktığımızda bu denklemin A seçeneğinde olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
