Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, iki basamaklı bir asal sayının rakamları yer değiştirdiğinde yine bir asal sayı elde etme şartını sağlayan kaç farklı asal sayı olduğunu bulmamız isteniyor. Bu tür asal sayılara "emirp" (prime kelimesinin tersten okunuşu) denir. Genellikle, bir asal sayı ve rakamları yer değiştirmiş hali farklı asal sayılar ise ve bizden "kaç farklı asal sayı" istendiğinde, her bir çifti (örneğin 13 ve 31) sadece bir kez, genellikle küçük olan sayıyı sayarak ele alırız. Ayrıca, rakamları aynı olan asal sayıları (örneğin 11) bu kategoriye dahil etmeyiz çünkü rakamları yer değiştirdiğinde kendisi oluşur ve "farklı bir asal sayı" elde edilmiş olmaz.
Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- Adım 1: İki Basamaklı Asal Sayıları Belirleyelim
- İki basamaklı asal sayılar şunlardır: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- Adım 2: Rakamları Yer Değiştirdiğinde Asal Olma Şartını İnceleyelim
- Bir sayının asal olabilmesi için birler basamağının 0, 2, 4, 5, 6, 8 olmaması gerekir (sadece 2 ve 5 hariç). Bu durumda, hem orijinal asal sayının hem de rakamları yer değiştirmiş halinin asal olabilmesi için, her iki sayının da birler basamağının 1, 3, 7 veya 9 olması gerekir. Yani, sayının kendisinin birler basamağı ve onlar basamağı bu kümeden olmalıdır.
- Bu kurala göre, inceleyeceğimiz iki basamaklı asal sayılar şunlardır:
- 11 (birler ve onlar basamağı 1)
- 13 (birler basamağı 3, onlar basamağı 1)
- 17 (birler basamağı 7, onlar basamağı 1)
- 19 (birler basamağı 9, onlar basamağı 1)
- 31 (birler basamağı 1, onlar basamağı 3)
- 37 (birler basamağı 7, onlar basamağı 3)
- 71 (birler basamağı 1, onlar basamağı 7)
- 73 (birler basamağı 3, onlar basamağı 7)
- 79 (birler basamağı 9, onlar basamağı 7)
- 97 (birler basamağı 7, onlar basamağı 9)
- Adım 3: Belirlenen Asal Sayıları ve Rakamları Yer Değişmiş Hallerini Kontrol Edelim
- Şimdi yukarıdaki listeyi, sorunun şartlarını (rakamları yer değiştirdiğinde yine asal olması ve genellikle "emirp" tanımına uygun olarak rakamları farklı ve küçük olanı sayma) göz önünde bulundurarak inceleyelim:
- 11: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince yine 11 olur. 11 de asal sayıdır. Ancak, rakamları aynı olduğu için ve kendisinden farklı bir asal sayı elde edilmediği için bu tür sorularda genellikle sayılmaz.
- 13: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince 31 olur. 31 de asal sayıdır. Rakamları farklıdır ve 13 < 31 olduğu için 13'ü sayarız. (1. sayı)
- 17: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince 71 olur. 71 de asal sayıdır. Rakamları farklıdır ve 17 < 71 olduğu için 17'yi sayarız. (2. sayı)
- 19: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince 91 olur. 91, $7 \times 13$ olduğu için asal sayı değildir. Bu nedenle 19'u saymayız.
- 31: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince 13 olur. 13 de asal sayıdır. Ancak, 13'ü zaten daha önce saydığımız için (küçük olanı sayma kuralı gereği) 31'i ayrıca saymayız.
- 37: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince 73 olur. 73 de asal sayıdır. Rakamları farklıdır ve 37 < 73 olduğu için 37'yi sayarız. (3. sayı)
- 71: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince 17 olur. 17 de asal sayıdır. Ancak, 17'yi zaten daha önce saydığımız için 71'i ayrıca saymayız.
- 73: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince 37 olur. 37 de asal sayıdır. Ancak, 37'yi zaten daha önce saydığımız için 73'ü ayrıca saymayız.
- 79: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince 97 olur. 97 de asal sayıdır. Rakamları farklıdır ve 79 < 97 olduğu için 79'u sayarız. (4. sayı)
- 97: Asal sayıdır. Rakamları yer değiştirince 79 olur. 79 de asal sayıdır. Ancak, 79'u zaten daha önce saydığımız için 97'yi ayrıca saymayız.
- Adım 4: Sonuçları Sayalım
- Yukarıdaki incelemeler sonucunda, şartı sağlayan ve "farklı asal sayı" olarak kabul ettiğimiz sayılar şunlardır: 13, 17, 37, 79.
- Toplamda 4 farklı asal sayı vardır.
Cevap A seçeneğidir.
