9. Sınıf Sayı Kümelerinin Arada Olma Özelliği Test 4

Ayşe ve Can, sayı doğrusu üzerinde farklı iki rasyonel sayı seçiyorlar. Ayşe $\frac{1}{3}$'ü, Can ise $\frac{1}{2}$'yi seçiyor. Bu iki sayı arasında, Ayşe ve Can'ın seçtiği türden (rasyonel) sonsuz sayıda başka sayı olduğunu ifade eden matematiksel özellik aşağıdakilerden hangisidir?

A) Tam Sayı Özelliği
B) Yoğunluk Özelliği
C) Kapalılık Özelliği
D) Birleşme Özelliği

Bu soruda, rasyonel sayılar kümesinin önemli bir özelliğini anlamamız isteniyor. Ayşe ve Can'ın seçtiği sayılar üzerinden bu özelliği adım adım inceleyelim:

• 1. Rasyonel Sayıları Anlayalım: Rasyonel sayılar, $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Ayşe'nin seçtiği $\frac{1}{3}$ ve Can'ın seçtiği $\frac{1}{2}$ sayıları da birer rasyonel sayıdır.
• 2. Ayşe ve Can'ın Sayılarını Karşılaştıralım: Ayşe'nin sayısı: $\frac{1}{3}$ Can'ın sayısı: $\frac{1}{2}$ Bu iki sayıyı karşılaştırmak için paydalarını eşitleyebiliriz. Ortak payda 6'dır: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$ $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$ Görüldüğü gibi, $\frac{2}{6} < \frac{3}{6}$ yani $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$'dir. Bu iki sayı birbirinden farklıdır.
• 3. İki Rasyonel Sayı Arasında Başka Rasyonel Sayı Bulma: İki farklı rasyonel sayı arasında her zaman başka bir rasyonel sayı bulabiliriz. Örneğin, iki sayının ortalamasını alarak yeni bir sayı bulabiliriz. $\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12}$ $\frac{5}{12}$ sayısı, $\frac{1}{3}$ ($\frac{4}{12}$) ile $\frac{1}{2}$ ($\frac{6}{12}$) arasındadır. Yani $\frac{1}{3} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2}$'dir.
• 4. Bu İşlemi Sonsuz Kez Tekrarlayabilir Miyiz? Evet! Şimdi $\frac{1}{3}$ ile $\frac{5}{12}$ arasında yeni bir rasyonel sayı bulabiliriz. Ya da $\frac{5}{12}$ ile $\frac{1}{2}$ arasında. Bu işlemi istediğimiz kadar tekrarlayabiliriz. Her seferinde iki rasyonel sayı arasında yeni bir rasyonel sayı bulabiliriz. Bu durum, iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı olduğu anlamına gelir.
• 5. Bu Özelliğin Adı Nedir? Matematikte, herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı bulunması özelliğine Yoğunluk Özelliği denir. Rasyonel sayılar kümesi, sayı doğrusu üzerinde "yoğun" bir şekilde bulunur.
• 6. Diğer Seçenekleri İnceleyelim: A) Tam Sayı Özelliği: Tam sayılar, rasyonel sayılardan daha seyrektir (örneğin 1 ile 2 arasında başka tam sayı yoktur). Bu özellik sorudaki durumu açıklamaz. C) Kapalılık Özelliği: Bir kümenin belirli bir işleme göre kapalı olması, o kümeden alınan elemanlarla yapılan işlemin sonucunun yine o kümenin içinde olması demektir. Örneğin, iki rasyonel sayının toplamı yine bir rasyonel sayıdır. Bu, iki sayı arasında sonsuz sayı olmasıyla ilgili değildir. D) Birleşme Özelliği: İşlemlerde sayıların gruplandırılmasının sonucu değiştirmemesiyle ilgilidir (örneğin $(a+b)+c = a+(b+c)$). Bu da sorudaki durumla ilgili değildir. Bu nedenle, Ayşe ve Can'ın seçtiği iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı olduğunu ifade eden özellik Yoğunluk Özelliği'dir.

Cevap B seçeneğidir.