Bir kenar uzunluğu $(x+7)$ birim olan karenin alanı ile bir kenar uzunluğu $(x+3)$ birim olan karenin alanları farkı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) $4(2x+10)$Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, karelerin alanları arasındaki farkı bulmamız isteniyor. Cebirsel ifadeler ve özdeşlikler konusundaki bilgimizi kullanarak bu soruyu adım adım çözelim.
Bir kenar uzunluğu $a$ birim olan bir karenin alanı $A = a^2$ formülüyle bulunur. Bu temel bilgiyi kullanarak her iki karenin alanını ifade edeceğiz.
Bizden istenen, bu iki karenin alanları farkıdır: $A_1 - A_2 = (x+7)^2 - (x+3)^2$.
Bu ifade, matematikte çok sık kullandığımız ve bize büyük kolaylık sağlayan bir özdeşlik olan "iki kare farkı" özdeşliğine benziyor. İki kare farkı özdeşliği şöyledir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Burada $a = (x+7)$ ve $b = (x+3)$ olarak düşünebiliriz.
Şimdi $a-b$ ve $a+b$ ifadelerini ayrı ayrı hesaplayalım:
$(x+7) - (x+3)$
Parantezleri açarken ikinci parantezin önündeki eksi işaretinin, parantez içindeki her terimin işaretini değiştireceğini unutmayalım: $x+7-x-3$
Benzer terimleri birleştirelim: $(x-x) + (7-3) = 0 + 4 = 4$.
Yani, $(a-b) = 4$.
$(x+7) + (x+3)$
Parantezleri açalım: $x+7+x+3$
Benzer terimleri birleştirelim: $(x+x) + (7+3) = 2x + 10$.
Yani, $(a+b) = 2x+10$.
Alan farkı $= (a-b)(a+b) = (4)(2x+10)$.
Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, doğrudan A seçeneği olan $4(2x+10)$ ile eşleştiğini görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
