Bu soruda, bir makine mühendisinin hesapladığı dişli oranını sadeleştirmemiz isteniyor. Verilen oran $ \sqrt{32} : \sqrt{8} $ şeklindedir. Bu tür köklü ifadeleri sadeleştirirken, köklerin özelliklerini kullanmak işimizi çok kolaylaştırır. Hadi adım adım bu oranı en basit haline getirelim:
- Oranı Kesir Olarak Yazma: Öncelikle, verilen $ \sqrt{32} : \sqrt{8} $ oranını bir kesir olarak ifade edebiliriz. Oranlar ve kesirler birbirinin yerine kullanılabilir. Yani, $ \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}} $ şeklinde yazabiliriz.
- Kök İçindeki İfadeleri Birleştirme: Kareköklerin önemli bir özelliği vardır: Eğer iki karekök birbirine bölünüyor ise, bu iki sayıyı tek bir karekök altında bölme işlemi yapabiliriz. Yani, $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $ kuralını uygulayabiliriz. Bu kuralı bizim oranımıza uygulayalım:
$ \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{32}{8}} $
- Kök İçindeki İfadeyi Sadeleştirme: Şimdi karekökün içindeki kesri sadeleştirelim. $32$ sayısını $8$'e böldüğümüzde ne elde ederiz?
$ \frac{32}{8} = 4 $
O halde, ifademiz $ \sqrt{4} $ haline gelir.
- Karekökü Hesaplama: Son adım olarak, $ \sqrt{4} $ ifadesinin değerini bulalım. Hangi sayının kendisiyle çarpımı $4$ eder? Evet, $2$ sayısı.
$ \sqrt{4} = 2 $
- Oranı Tekrar Yazma: Bulduğumuz $2$ değeri, aslında $ \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}} $ kesrinin sadeleşmiş halidir. Bir sayıyı oran olarak ifade ederken, paydanın $1$ olduğunu düşünebiliriz. Yani $2$ sayısı $ \frac{2}{1} $ olarak yazılabilir. Bu da oran olarak $2:1$ anlamına gelir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $ \sqrt{32} : \sqrt{8} $ oranının sadeleştirilmiş halinin $2:1$ olduğunu buluruz.
Cevap A seçeneğidir.
