Mühendislikte üslü ve köklü gösterimlerin kullanıldığı durumlar nelerdir?

Bir makine mühendisi, dairesel kesitli bir milin burulma dayanımını inceliyor. Milin kutupsal atalet momenti (J) formülü \(J = \frac{\pi d^4}{32}\)'dir. Mühendis, mevcut mil çapını (\(d\)) 2 katına çıkarırsa, kutupsal atalet momentinin kaç kat artacağını hesaplamak istiyor. Yeni atalet momentinin (\(J_{yeni}\)) eski atalet momentine (\(J_{eski}\)) oranını bulunuz.

💡 Bu problem, üslü ifadelerin mühendislik tasarımındaki kritik etkisini göstermektedir.

• ➡️ Adım 1: Eski ve yeni durum için formülleri yazalım.
  Eski çap: \(d\) → \(J_{eski} = \frac{\pi d^4}{32}\)
  Yeni çap: \(2d\) → \(J_{yeni} = \frac{\pi (2d)^4}{32}\)
• ➡️ Adım 2: Yeni atalet momentindeki üslü ifadeyi düzenleyelim.
  \((2d)^4 = 2^4 \times d^4 = 16d^4\)
  Buna göre: \(J_{yeni} = \frac{\pi \times 16d^4}{32}\)
• ➡️ Adım 3: \(J_{yeni}\) ifadesini sadeleştirelim.
  \(J_{yeni} = 16 \times \frac{\pi d^4}{32} = 16 \times J_{eski}\)
• ➡️ Adım 4: Oranı bulalım.
  \(\frac{J_{yeni}}{J_{eski}} = \frac{16 \times J_{eski}}{J_{eski}} = 16\)

✅ Sonuç: Milin çapı 2 katına çıkarıldığında, burulma dayanımını temsil eden kutupsal atalet momenti 16 kat artar. Bu, üslü ifadelerin (burada \(d^4\)) tasarım parametrelerini nasıl dramatik şekilde etkilediğinin çarpıcı bir örneğidir.