Soru:
Bir bilgisayar mühendisi, bir veri sıkıştırma algoritmasının karmaşıklığını analiz ediyor. Algoritmanın çalışma zamanı \( T(n) = k \cdot n^{1.59} \) formülü ile modelleniyor. \( k = 5 \times 10^{-9} \) saniye ve \( n = 10^6 \) (işlenen veri miktarı) olduğuna göre, algoritmanın çalışma süresi \( T(n) \) kaç saniyedir?
Çözüm:
💡 Üslü ifadeler, algoritmaların zaman ve bellek karmaşıklığını ifade etmek için yaygın kullanılır. Burada üssü 1.59 olan bir üstel ifade var.
- ➡️ 1. Adım: \( n \) değerini ve üssü yazalım: \( n^{1.59} = (10^6)^{1.59} \)
- ➡️ 2. Adım: Üslü sayılar kuralını uygulayalım: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
\( (10^6)^{1.59} = 10^{6 \times 1.59} = 10^{9.54} \)
- ➡️ 3. Adım: \( 10^{9.54} \) ifadesini, \( 10^{9} \times 10^{0.54} \) şeklinde yazabiliriz. \( 10^{0.54} \approx 3.467 \) (Hesap makinesi ile).
Yani \( 10^{9.54} \approx 10^9 \times 3.467 = 3.467 \times 10^9 \)
- ➡️ 4. Adım: Şimdi \( T(n) \)'yi hesaplayalım: \( T(n) = (5 \times 10^{-9}) \times (3.467 \times 10^9) \)
- ➡️ 5. Adım: Sayıları ve üslü kısımları ayrı ayrı çarpalım: \( 5 \times 3.467 = 17.335 \) ve \( 10^{-9} \times 10^9 = 10^0 = 1 \).
Sonuç: \( 17.335 \) saniye
✅ Sonuç: Algoritmanın çalışma süresi yaklaşık 17.34 saniye'dir.
