Soru:
Bir makine mühendisi, dairesel kesitli bir milin burulma rijitliğini inceliyor. Milin çapı \( d = 50 \text{ mm} \) ve kayma modülü \( G = 80 \text{ GPa} \)'dır. Burulma rijitliği, kutupsal atalet momenti \( J \) ile kayma modülünün çarpımıdır (\( GJ \)). Dairesel bir kesit için kutupsal atalet momenti \( J = \frac{\pi d^4}{32} \) formülü ile hesaplanır. Buna göre, bu milin burulma rijitliği \( GJ \) kaç \( \text{N·m}^2 \) birimindedir?
Çözüm:
💡 Bu problemde, çapın 4. kuvvetini (üs ifade) ve birim dönüşümlerini dikkatle hesaplamamız gerekiyor.
- ➡️ Adım 1: Çapın 4. Kuvvetini Hesaplama
\( d = 50 \text{ mm} \)
\( d^4 = (50)^4 = 50 \times 50 \times 50 \times 50 = 6,250,000 \text{ mm}^4 \).
- ➡️ Adım 2: Kutupsal Atalet Momentini (J) Hesaplama
\( J = \frac{\pi \times d^4}{32} = \frac{3.1416 \times 6,250,000}{32} \).
Önce payı hesaplayalım: \( 3.1416 \times 6,250,000 \approx 19,635,000 \).
Şimdi 32'ye bölelim: \( J \approx \frac{19,635,000}{32} \approx 613,593.75 \text{ mm}^4 \).
- ➡️ Adım 3: Birimleri m^4'e Çevirme
1 mm = 10⁻³ m olduğundan, 1 mm⁴ = (10⁻³)⁴ = 10⁻¹² m⁴.
\( J \approx 613,593.75 \times 10^{-12} = 6.1359375 \times 10^{-7} \text{ m}^4 \).
- ➡️ Adım 4: Burulma Rijitliğini (GJ) Hesaplama
\( G = 80 \text{ GPa} = 80 \times 10^9 \text{ Pa} = 80 \times 10^9 \text{ N/m}^2 \).
\( GJ = (80 \times 10^9 \text{ N/m}^2) \times (6.1359375 \times 10^{-7} \text{ m}^4) \).
\( GJ \approx 80 \times 6.1359375 \times 10^{9-7} = 80 \times 6.1359375 \times 10^{2} \).
\( GJ \approx 490.875 \times 10^{2} = 49,087.5 \text{ N·m}^2 \).
✅ Sonuç: Milin burulma rijitliği yaklaşık 49,088 N·m²'dir.
