Soru:
Bir çevre mühendisi, atık su arıtma tesisindeki bir boru hattında akan suyun debisini ölçmek için Venturi metre kullanıyor. Borunun geniş kesit çapı \( D_1 = 200 \text{ mm} \), dar kesit çapı \( D_2 = 100 \text{ mm} \) ve iki kesit arasında ölçülen basınç farkı \( \Delta P = 10 \text{ kPa} \)'dır. Sürtünmesiz akış ve sıkıştırılamaz akışkan için debi formülü \( Q = A_2 \sqrt{\frac{2 \Delta P}{\rho (1 - (A_2/A_1)^2)}} \)'dir. Suyun yoğunluğu \( \rho = 1000 \text{ kg/m}^3 \) alınacaktır. Buna göre debi \( Q \) kaç \( \text{m}^3/\text{s} \)'dir? (Kesit alanı \( A = \pi D^2 / 4 \))
Çözüm:
💡 Bu problem, köklü bir ifadenin içinde kesit alanlarının oranının karesi gibi üslü ifadeler içeriyor.
- ➡️ Adım 1: Kesit Alanlarını Hesaplama
Öncelikle çapları metreye çevirelim: \( D_1 = 0.2 \text{ m}, D_2 = 0.1 \text{ m} \).
\( A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{3.1416 \times (0.2)^2}{4} = \frac{3.1416 \times 0.04}{4} = \frac{0.125664}{4} = 0.031416 \text{ m}^2 \).
\( A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{3.1416 \times (0.1)^2}{4} = \frac{3.1416 \times 0.01}{4} = \frac{0.031416}{4} = 0.007854 \text{ m}^2 \).
- ➡️ Adım 2: Alanlar Oranının Karesini Hesaplama
\( (A_2/A_1)^2 = (\frac{0.007854}{0.031416})^2 = (0.25)^2 = 0.0625 \).
\( 1 - (A_2/A_1)^2 = 1 - 0.0625 = 0.9375 \).
- ➡️ Adım 3: Kök İçindeki İfadeyi Hesaplama
\( \Delta P = 10 \text{ kPa} = 10,000 \text{ Pa} \).
\( \frac{2 \Delta P}{\rho} = \frac{2 \times 10,000}{1000} = \frac{20,000}{1000} = 20 \).
\( \frac{2 \Delta P}{\rho (1 - (A_2/A_1)^2)} = \frac{20}{0.9375} \approx 21.333 \).
- ➡️ Adım 4: Debiyi (Q) Hesaplama
\( Q = A_2 \times \sqrt{21.333} \).
\( \sqrt{21.333} \approx 4.619 \).
\( Q \approx 0.007854 \times 4.619 \approx 0.03627 \text{ m}^3/\text{s} \).
✅ Sonuç: Borudan geçen suyun debisi yaklaşık 0.0363 m³/s'dir.
