10. Sınıf Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler Test 2

Bir dik üçgende dar açılardan birinin sinüs değeri 0,8'dir. Bu açının kotanjant değeri kaçtır?

A) 0,6
B) 0,75
C) 1,25
D) 1,33

Bu soruyu çözmek için trigonometrik oranlar ve temel özdeşlikleri kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Verilen Bilgiyi Anlayalım: Bir dik üçgende dar açılardan birinin sinüs değeri $0.8$ olarak verilmiş. Bu açıyı $\alpha$ ile gösterirsek, $\sin(\alpha) = 0.8$ demektir.
• Kosinüs Değerini Bulalım: Trigonometrinin temel özdeşliklerinden biri olan $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ formülünü kullanarak açının kosinüs değerini bulabiliriz.
  • $\sin(\alpha) = 0.8$ değerini formülde yerine koyalım:
  • $(0.8)^2 + \cos^2(\alpha) = 1$
  • $0.64 + \cos^2(\alpha) = 1$
  • $\cos^2(\alpha) = 1 - 0.64$
  • $\cos^2(\alpha) = 0.36$
  • $\cos(\alpha) = \sqrt{0.36}$
  • $\cos(\alpha) = 0.6$ (Dik üçgende dar açı olduğu için kosinüs değeri pozitif olmalıdır.)
• Kotanjant Değerini Hesaplayalım: Kotanjant, bir açının kosinüs değerinin sinüs değerine oranıdır. Yani, $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.
  • Bulduğumuz $\sin(\alpha) = 0.8$ ve $\cos(\alpha) = 0.6$ değerlerini kotanjant formülünde yerine koyalım:
  • $\cot(\alpha) = \frac{0.6}{0.8}$
  • Bu kesri sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı $0.2$ ile bölebiliriz veya kesri $10$ ile genişleterek $\frac{6}{8}$ olarak yazabiliriz.
  • $\cot(\alpha) = \frac{6}{8}$
  • Kesri $2$ ile sadeleştirdiğimizde: $\cot(\alpha) = \frac{3}{4}$
  • Ondalık sayı olarak ifade edersek: $\cot(\alpha) = 0.75$

Cevap B seçeneğidir.