Bu soruyu çözmek için cebirsel özdeşliklerden biri olan iki kare farkı özdeşliğini kullanacağız. Bu özdeşlik, karmaşık görünen ifadeleri sadeleştirmede bize büyük kolaylık sağlar.
- Öncelikle, sorudaki ifadeyi dikkatlice inceleyelim: $ (3m + 2n)^2 - (3m - 2n)^2 $.
- Bu ifade, genel olarak $A^2 - B^2$ şeklinde bir yapıya sahiptir. Burada $A$ ve $B$ yerine farklı cebirsel ifadeler gelmiştir.
- Bizim durumumuzda, $A$ ifadesi $ (3m + 2n) $ ve $B$ ifadesi $ (3m - 2n) $ olarak belirlenmiştir.
- İki kare farkı özdeşliği şöyledir: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Bu özdeşlik, iki terimin karelerinin farkını, bu terimlerin farkı ile toplamının çarpımı şeklinde ifade etmemizi sağlar.
- Şimdi, $A$ ve $B$ değerlerini bu özdeşliğe yerleştirerek ilk olarak $ (A - B) $ ifadesini hesaplayalım. Bu, $ (3m + 2n) - (3m - 2n) $ şeklinde olacaktır.
- $ (A - B) $ ifadesini açarken ikinci parantezin önündeki eksi işaretini parantez içindeki her terime dağıtmayı unutmayalım: $ 3m + 2n - 3m + 2n $.
- Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde, $ (3m - 3m) + (2n + 2n) $ olur. Buradan $0 + 4n = 4n$ sonucunu elde ederiz. Yani $ (A - B) = 4n $.
- Şimdi de $ (A + B) $ ifadesini hesaplayalım. Bu, $ (3m + 2n) + (3m - 2n) $ şeklinde olacaktır.
- $ (A + B) $ ifadesini açalım: $ 3m + 2n + 3m - 2n $.
- Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde, $ (3m + 3m) + (2n - 2n) $ olur. Buradan $6m + 0 = 6m$ sonucunu elde ederiz. Yani $ (A + B) = 6m $.
- Son olarak, iki kare farkı özdeşliğine göre $ (A - B) $ ve $ (A + B) $ ifadelerinin çarpımını bulmalıyız. Yani $ (4n) \times (6m) $ işlemini yapacağız.
- Bu çarpma işlemini gerçekleştirdiğimizde: $ 4 \times 6 \times m \times n = 24mn $ sonucuna ulaşırız.
- Böylece, verilen işlemin sonucu $24mn$ olarak bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
