Birim fonksiyon Test 5

f: R → R fonksiyonu için f(x) = (a-2)x + b + 3 şeklinde veriliyor. f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a + b kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir fonksiyonun "birim fonksiyon" olma özelliğini kullanarak bilinmeyen $a$ ve $b$ değerlerini bulacağız. Haydi adım adım ilerleyelim:

• 1. Birim Fonksiyon Nedir?

  Bir fonksiyonun birim fonksiyon olması demek, o fonksiyonun içine hangi değeri koyarsak koyalım, dışarıya aynı değeri çıkarması demektir. Yani, her $x$ değeri için $f(x) = x$ olmalıdır. Örneğin, $f(5)=5$, $f(-3)=-3$ gibi. Matematiksel olarak, birim fonksiyonun genel formu $f(x) = 1 \cdot x + 0$ şeklindedir.

• 2. Verilen Fonksiyonu Birim Fonksiyon Formuna Eşitleme

  Soruda bize verilen fonksiyon $f(x) = (a-2)x + b + 3$ şeklindedir. Bu fonksiyonun birim fonksiyon olabilmesi için, $f(x)$'in $x$'e eşit olması gerekir. Yani:

  $ (a-2)x + b + 3 = x $

  Bu eşitliği daha net görebilmek için sağ tarafı $1 \cdot x + 0$ olarak yazabiliriz:

  $ (a-2)x + b + 3 = 1 \cdot x + 0 $

• 3. Katsayıları Karşılaştırma

  İki polinomun (burada birinci dereceden ifadeler) birbirine eşit olabilmesi için, aynı dereceden terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır. Bu durumda:

  • $x$'in katsayıları eşit olmalı: $a-2 = 1$
  • Sabit terimler (yani $x$'e bağlı olmayan terimler) eşit olmalı: $b+3 = 0$
• 4. $a$ ve $b$ Değerlerini Bulma

  Şimdi bulduğumuz denklemleri çözelim:

  • $a-2 = 1 \implies a = 1 + 2 \implies a = 3$
  • $b+3 = 0 \implies b = 0 - 3 \implies b = -3$
• 5. $a+b$ Toplamını Hesaplama

  $a$ ve $b$ değerlerini bulduğumuza göre, istenen $a+b$ toplamını kolayca hesaplayabiliriz:

  $a+b = 3 + (-3) = 3 - 3 = 0$

Cevap C seçeneğidir.