Bir okulda yapılan ankete göre öğrencilerin %60'ı müzik, %40'ı resim kursuna katılmaktadır. Müzik kursuna katılanların %30'u, resim kursuna katılanların %20'si aynı zamanda tiyatro kulübü üyesidir. Rastgele seçilen bir öğrencinin tiyatro kulübü üyesi olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin müzik kursuna katılma olasılığı kaçtır?
A) \( \frac{9}{13} \)
B) \( \frac{3}{5} \)
C) \( \frac{2}{3} \)
D) \( \frac{5}{8} \)
Merhaba öğrenciler, bu olasılık sorusunu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Bu tür soruları çözerken dikkatli olmak ve verilen bilgileri doğru kullanmak çok önemlidir. Hadi başlayalım!
- Adım 1: Verilen Bilgileri Anlama ve Not Alma
- Öğrencilerin %60'ı müzik kursuna katılıyor. Bunu $P(M) = 0.6$ olarak ifade edebiliriz.
- Öğrencilerin %40'ı resim kursuna katılıyor. Bunu $P(R) = 0.4$ olarak ifade edebiliriz.
- Müzik kursuna katılanların %30'u tiyatro kulübü üyesi. Bunu $P(T|M) = 0.3$ olarak ifade edebiliriz. (Müzik kursuna katılan bir öğrencinin tiyatro kulübü üyesi olma olasılığı)
- Resim kursuna katılanların %20'si tiyatro kulübü üyesi. Bunu $P(T|R) = 0.2$ olarak ifade edebiliriz. (Resim kursuna katılan bir öğrencinin tiyatro kulübü üyesi olma olasılığı)
- Adım 2: İstenen Olasılığı Belirleme
- Bizden istenen, tiyatro kulübü üyesi olan bir öğrencinin müzik kursuna katılma olasılığıdır. Yani $P(M|T)$'yi bulmamız gerekiyor. (Tiyatro kulübü üyesi olan bir öğrencinin müzik kursuna katılma olasılığı)
- Adım 3: Bayes Teoremini Uygulama
- Bayes Teoremi, koşullu olasılıkları hesaplamak için çok kullanışlıdır. Teorem şu şekildedir:
$P(M|T) = \frac{P(T|M) \cdot P(M)}{P(T)}$
- Adım 4: $P(T)$'yi Hesaplama
- $P(T)$'yi (bir öğrencinin tiyatro kulübü üyesi olma olasılığı) bulmak için, müzik kursuna katılanların tiyatro kulübü üyesi olma olasılığı ile resim kursuna katılanların tiyatro kulübü üyesi olma olasılığını toplamamız gerekiyor.
$P(T) = P(T|M) \cdot P(M) + P(T|R) \cdot P(R)$
$P(T) = (0.3 \cdot 0.6) + (0.2 \cdot 0.4) = 0.18 + 0.08 = 0.26$
- Adım 5: $P(M|T)$'yi Hesaplama
- Şimdi Bayes Teoremi'ni kullanarak $P(M|T)$'yi hesaplayabiliriz:
$P(M|T) = \frac{P(T|M) \cdot P(M)}{P(T)} = \frac{0.3 \cdot 0.6}{0.26} = \frac{0.18}{0.26} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}$
Bu nedenle, rastgele seçilen bir öğrencinin tiyatro kulübü üyesi olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin müzik kursuna katılma olasılığı $\frac{9}{13}$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
