Bir sınavda öğrencilerin %70'i matematikten, %60'ı fizikten geçmiştir. Her iki dersten de geçenlerin oranı %50'dir. Rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten geçtiği bilindiğine göre, bu öğrencinin matematikten de geçmiş olma olasılığı nedir?
A) \( \frac{5}{6} \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, koşullu olasılık kavramını kullanarak bir öğrencinin belirli bir dersten geçtiği bilindiğinde, başka bir dersten de geçmiş olma olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Soruda verilen bilgileri olasılık sembolleriyle yazalım. Bu, problemi daha net görmemizi sağlar:
Bizden istenen şey ise, rastgele seçilen bir öğrencinin fizikten geçtiği bilindiğine göre, bu öğrencinin matematikten de geçmiş olma olasılığıdır. Bu bir koşullu olasılıktır ve $P(M | F)$ şeklinde gösterilir. Yani, "F olayı gerçekleştiğinde M olayının gerçekleşme olasılığı" demektir.
Bir $A$ olayının, $B$ olayı gerçekleştiği bilindiğinde gerçekleşme olasılığı (koşullu olasılık) şu formülle bulunur:
$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Bizim problemimizde $A$ olayı "Matematikten geçme" ($M$) ve $B$ olayı "Fizikten geçme" ($F$) olduğuna göre, formülümüz şöyle olacaktır:
$P(M | F) = \frac{P(M \cap F)}{P(F)}$
Şimdi 1. adımda belirlediğimiz olasılık değerlerini formülümüze yerleştirelim:
Bu değerleri formüle koyarsak:
$P(M | F) = \frac{0.50}{0.60}$
Kesirli ifadeyi sadeleştirelim. Ondalık sayıları kesir olarak yazmak ve sadeleştirmek genellikle daha kolaydır:
$P(M | F) = \frac{0.50}{0.60} = \frac{\frac{50}{100}}{\frac{60}{100}}$
Paydadaki $\frac{1}{100}$'ler birbirini götürür:
$P(M | F) = \frac{50}{60}$
Şimdi bu kesri sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı $10$ ile bölebiliriz:
$P(M | F) = \frac{50 \div 10}{60 \div 10} = \frac{5}{6}$
Bulduğumuz sonuç $\frac{5}{6}$'dır. Seçeneklere baktığımızda, bu değerin A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
