Bir üretim hattındaki bir makinenin sıcaklık değeri |T - 25| ≤ 3 eşitsizliği ile ideal çalışma aralığını belirlemektedir. Buna göre makine hangi sıcaklık aralığında ideal çalışır?
A) [22, 28]Sevgili öğrenciler, bu soruda bir makinenin ideal çalışma sıcaklığı aralığını veren bir eşitsizlik ile karşı karşıyayız. Bu tür eşitsizlikleri çözmek için mutlak değerin özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
Soruda bize makinenin ideal çalışma aralığını belirleyen eşitsizlik $ |T - 25| \leq 3 $ olarak verilmiş. Burada $T$ makinenin sıcaklık değerini temsil ediyor. Bu eşitsizlik, makinenin sıcaklığının $25$ dereceden farkının mutlak değerinin $3$'ten küçük veya eşit olması gerektiğini ifade eder.
Genel olarak, bir $x$ değeri ve pozitif bir $a$ sayısı için $ |x| \leq a $ şeklindeki bir mutlak değer eşitsizliği, $ -a \leq x \leq a $ şeklinde yazılabilir. Bu kural, $x$'in 0'a olan uzaklığının $a$'dan küçük veya eşit olması gerektiğini ifade eder.
Bizim eşitsizliğimiz $ |T - 25| \leq 3 $ olduğuna göre, burada $x$ yerine $ (T - 25) $ ve $a$ yerine $3$ gelmektedir. Bu durumda eşitsizliğimizi mutlak değerden kurtararak şu şekilde yeniden yazabiliriz:
$ -3 \leq T - 25 \leq 3 $
Şimdi amacımız, $T$ değerinin hangi aralıkta olduğunu bulmak. Bunun için eşitsizliğin her üç tarafına da $25$ ekleyerek $T$'yi yalnız bırakmalıyız. Bu işlem, eşitsizliğin yönünü değiştirmez:
$ -3 + 25 \leq T - 25 + 25 \leq 3 + 25 $
Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şu hale gelir:
$ 22 \leq T \leq 28 $
Elde ettiğimiz $ 22 \leq T \leq 28 $ ifadesi, makinenin ideal çalışma sıcaklığının $22$ dereceye eşit veya daha büyük, aynı zamanda $28$ dereceye eşit veya daha küçük olması gerektiğini gösterir. Bu aralık, matematiksel olarak kapalı bir aralık olarak ifade edilir.
Kapalı aralık gösterimi $ [a, b] $ şeklindedir ve $a$ ile $b$ dahil olmak üzere aradaki tüm sayıları kapsar.
Dolayısıyla, makine $ [22, 28] $ sıcaklık aralığında ideal çalışır.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
