Analitik düzlemde 2x + 4y = 8 ve x + 2y = 4 doğruları için ne söylenebilir?
A) Paraleldir
B) Dik kesişir
C) Çakışıktır
D) Farklı noktalarda kesişir
Sevgili öğrenciler, bu soruda bize iki doğru denklemi verilmiş ve bu doğrular arasındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Doğruların birbirine göre durumlarını anlamak için denklemlerini dikkatlice incelememiz gerekir.
- Adım 1: Verilen Doğru Denklemlerini Yazalım
- İlk doğru denklemi: $2x + 4y = 8$
- İkinci doğru denklemi: $x + 2y = 4$
- Adım 2: İlk Doğru Denklemini Sadeleştirelim
- Genellikle, doğruların ilişkisini daha net görmek için denklemleri en sade hallerine getirmek veya eğim-kesen formuna ($y = mx + b$) dönüştürmek faydalıdır.
- İlk denklemimiz olan $2x + 4y = 8$ denkleminin tüm terimlerinin 2 ile bölünebildiğini fark ediyoruz. Denklemin her iki tarafını 2'ye bölelim:
- $ rac{2x}{2} + rac{4y}{2} = rac{8}{2}$
- Bu sadeleştirme sonucunda ilk doğru denklemi $x + 2y = 4$ haline gelir.
- Adım 3: Sadeleştirilmiş Denklemleri Karşılaştıralım
- Şimdi elimizde iki denklem var:
- İlk doğrunun sadeleştirilmiş denklemi: $x + 2y = 4$
- İkinci doğrunun orijinal denklemi: $x + 2y = 4$
- Gördüğümüz gibi, her iki doğrunun denklemi de tamamen aynıdır.
- Adım 4: Doğrular Arasındaki İlişkiyi Belirleyelim
- Eğer iki farklı gibi görünen doğru denklemi, sadeleştirildiğinde veya düzenlendiğinde tamamen aynı denklemi veriyorsa, bu iki doğru aslında aynı doğruyu temsil eder.
- Bu duruma matematikte "çakışık doğrular" denir. Çakışık doğrular, düzlemde birbirinin tam üzerine düşen, yani her noktası ortak olan doğrulardır. Bu, sonsuz sayıda ortak noktaları olduğu anlamına gelir.
- Adım 5: Seçenekleri Değerlendirelim
- A) Paraleldir: Paralel doğruların eğimleri aynıdır ancak y-eksenini kestikleri noktalar (y-kesenleri) farklıdır. Bizim doğrularımızın denklemleri tamamen aynı olduğu için hem eğimleri hem de y-kesenleri aynıdır. Bu yüzden sadece paralel değil, çakışıktırlar.
- B) Dik kesişir: Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı $-1$'dir. Bu durum, denklemlerin aynı olmasıyla bağdaşmaz.
- C) Çakışıktır: Evet, denklemlerin tamamen aynı olması, doğruların çakışık olduğunu gösterir.
- D) Farklı noktalarda kesişir: Bu seçenek genellikle doğruların eğimleri farklı olduğunda geçerlidir ve tek bir kesişim noktası olur. Çakışık doğrular ise sonsuz noktada kesişir.
Bu analiz sonucunda, iki doğrunun denklemlerinin tamamen aynı olduğunu bulduk. Bu da onların çakışık olduğu anlamına gelir.
Cevap C seçeneğidir.
