\( 2^{25} + 2^{24} + 2^{23} \) toplamının değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \( 2^{26} \)Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün sizlerle üslü ifadelerle ilgili güzel bir toplama işlemini adım adım çözeceğiz. Amacımız, bu tür ifadeleri nasıl sadeleştireceğimizi ve doğru cevaba nasıl ulaşacağımızı öğrenmek. Hazırsanız başlayalım!
Verilen ifade $2^{25} + 2^{24} + 2^{23}$ şeklindedir. Bu tür üslü ifadelerin toplamını bulurken, genellikle en küçük üslü terimi ortak çarpan olarak dışarı çıkarmak işimizi çok kolaylaştırır. Burada en küçük üslü terim $2^{23}$'tür.
Üslü sayılar kuralına göre, $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ olduğunu biliyoruz. Bu kuralı kullanarak her terimi $2^{23}$'ün bir katı olarak yazalım:
Şimdi orijinal ifadeyi bu yeni halleriyle yazalım:
$2^{23} \cdot 2^2 + 2^{23} \cdot 2^1 + 2^{23} \cdot 1$
Gördüğünüz gibi, her terimde $2^{23}$ ortak çarpanı bulunmaktadır. Dağılma özelliğini (ortak çarpan parantezine alma) kullanarak bu ifadeyi daha sade hale getirebiliriz:
$2^{23} (2^2 + 2^1 + 1)$
Şimdi parantez içindeki üslü sayıların değerlerini hesaplayalım ve toplayalım:
Parantez içi toplamı: $4 + 2 + 1 = 7$
Parantez içindeki toplamı yerine yazarsak, ifadenin değeri şu olur:
$2^{23} \cdot 7$
Bu ifadeyi genellikle $7 \cdot 2^{23}$ şeklinde yazarız.
Bulduğumuz sonuç $7 \cdot 2^{23}$'tür. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade C seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
