Bir matematik yarışmasında öğrencilere "x ∈ (1, 5] ve y ∈ [-2, 3) ise x + y toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?" sorusu soruluyor. Doğru cevap hangisidir?
A) 6Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim. Amacımız, $x$ ve $y$ değerlerinin aralıklarını kullanarak $x+y$ toplamının alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmak.
Soruda bize $x$ ve $y$ için iki farklı aralık verilmiş:
$x \in (1, 5]$ ifadesi, $x$ değerinin 1'den büyük ve 5'e eşit veya 5'ten küçük olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak $1 < x \le 5$ şeklinde yazılır.
$y \in [-2, 3)$ ifadesi, $y$ değerinin -2'ye eşit veya -2'den büyük ve 3'ten küçük olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak $-2 \le y < 3$ şeklinde yazılır.
$x+y$ toplamının hangi aralıkta olduğunu bulmak için, $x$ ve $y$'nin alt ve üst sınırlarını ayrı ayrı toplarız.
Alt Sınır İçin: $x$'in alt sınırı 1 ve $y$'nin alt sınırı -2'dir. Bu sınırları toplarsak $1 + (-2) = -1$ elde ederiz.
Ancak dikkat! $x > 1$ olduğu için, $x$ hiçbir zaman tam olarak 1 olamaz. Bu yüzden $x+y$ toplamı da hiçbir zaman tam olarak $-1$ olamaz, her zaman $-1$'den büyük olacaktır. Yani $x+y > -1$.
Üst Sınır İçin: $x$'in üst sınırı 5 ve $y$'nin üst sınırı 3'tür. Bu sınırları toplarsak $5 + 3 = 8$ elde ederiz.
Yine dikkat! $y < 3$ olduğu için, $y$ hiçbir zaman tam olarak 3 olamaz. Bu yüzden $x+y$ toplamı da hiçbir zaman tam olarak $8$ olamaz, her zaman $8$'den küçük olacaktır. Yani $x+y < 8$.
Yukarıdaki adımlardan elde ettiğimiz eşitsizlikleri birleştirirsek, $x+y$ toplamının aralığını buluruz:
$-1 < x+y < 8$
$x+y$ toplamı $-1$'den büyük ve $8$'den küçük olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.
Bu tam sayılar arasında en büyük olanı $7$'dir.
Bu nedenle, $x+y$ toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri $7$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
