9. Sınıf f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyon Test 2

f(x) = x doğrusal fonksiyonu ile ilgili olarak:
I. Artan fonksiyondur
II. Tek fonksiyondur
III. Ters fonksiyonu kendisine eşittir
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I
B) I ve II
C) II ve III
D) I, II ve III

Sevgili öğrenciler, bu soruda $f(x) = x$ doğrusal fonksiyonunun bazı temel özelliklerini inceleyeceğiz. Her bir ifadeyi adım adım değerlendirelim:

• I. Artan fonksiyondur

  Bir fonksiyonun artan olması demek, $x$ değerleri arttıkça $f(x)$ değerlerinin de artması demektir. Matematiksel olarak, eğer $x_1 < x_2$ ise $f(x_1) < f(x_2)$ olmalıdır.

  • $f(x) = x$ fonksiyonu için, eğer $x_1 < x_2$ alırsak, $f(x_1) = x_1$ ve $f(x_2) = x_2$ olacaktır.
  • Bu durumda, $x_1 < x_2$ olduğu için $f(x_1) < f(x_2)$ eşitsizliği sağlanır.
  • Ayrıca, bir fonksiyonun türevi pozitif ise o fonksiyon artandır. $f(x) = x$ fonksiyonunun türevi $f'(x) = 1$'dir. $1 > 0$ olduğu için fonksiyon artandır.
  • Dolayısıyla, birinci ifade doğrudur.
• II. Tek fonksiyondur

  Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması demek, $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlaması demektir. Bu, fonksiyonun orijine göre simetrik olduğu anlamına gelir.

  • $f(x) = x$ fonksiyonu için $f(-x)$'i bulalım: $f(-x) = -x$.
  • Şimdi de $-f(x)$'i bulalım: $-f(x) = -(x) = -x$.
  • Gördüğümüz gibi, $f(-x) = -x$ ve $-f(x) = -x$ olduğu için $f(-x) = -f(x)$ eşitliği sağlanır.
  • Dolayısıyla, ikinci ifade doğrudur.
• III. Ters fonksiyonu kendisine eşittir

  Bir fonksiyonun tersini bulmak için $y = f(x)$ yazarız, sonra $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştiririz ve $y$'yi yalnız bırakırız. Elde ettiğimiz $y$ ifadesi $f^{-1}(x)$ olur.

  • $f(x) = x$ fonksiyonu için $y = x$ yazalım.
  • Şimdi $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştirelim: $x = y$.
  • Bu denklemde $y$ zaten yalnız bırakılmış durumda. Yani $y = x$.
  • Bu durumda, $f^{-1}(x) = x$ olur.
  • Fonksiyonun kendisi $f(x) = x$ ve tersi $f^{-1}(x) = x$ olduğu için, ters fonksiyonu kendisine eşittir.
  • Dolayısıyla, üçüncü ifade doğrudur.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, verilen üç ifadenin de doğru olduğunu gördük.

Cevap D seçeneğidir.